Eşitsizlik --2--{çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

(Hüseyin Emekçi)
$a,b,c, x, y, z \in \mathbf{R^+}$ ve $x+y+z\leq 3$ olmak üzere

                    $$(a+2b)(b+2c)(c+2a)\leq 3(a+b+c)(\frac{a^2}{\sqrt{x}}+\frac{b^2}{\sqrt{y}}+\frac{c^2}{\sqrt{z}})$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$i)$ $$\sqrt[3]{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}\leq \frac{a+2b+b+2c+c+2a}{3}=a+b+c$$ olduğundan
$$(a+2b)(b+2c)(c+2a)\leq (a+b+c)^3$$

$ii)$ $$3(a+b+c)(\frac{a^2}{\sqrt{x}}+\frac{b^2}{\sqrt{y}}+\frac{c^2}{\sqrt{z}})\geq 3(a+b+c)(\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}})$$
$$=(a+b+c)^3\frac{3}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\geq (a+b+c)^3\frac{3}{3\sqrt{\frac{x+y+z}{3}}}\geq (a+b+c)^3\frac{3}{3}=(a+b+c)^3$$.

Kısaca

$$(a+2b)(b+2c)(c+2a)\leq (a+b+c)^3\leq (a+b+c)^3\frac{3}{3\sqrt{\frac{x+y+z}{3}}}\leq 3(a+b+c)(\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}})$$
$$\leq 3(a+b+c)(\frac{a^2}{\sqrt{x}}+\frac{b^2}{\sqrt{y}}+\frac{c^2}{\sqrt{z}})$$