Teğet Çemberler {çözüldü}

[geo]

ABC üçgeninin [BC] kenarına B de teğet olan D merkezli çember, [BC] kenarına C de teğet olan E merkezli çembere T noktasında dıştan teğettir. AT, ADE üçgeninin çevrel çemberini ikinci kez F de kestiğine göre; BC=AT=6 ve BF²+ CF² = 45/2 ise AB²+AC² nedir?

[ERhan ERdoğan]

D ve E merkezli çemberlerin yarıçapları sırasıyla r₁ ve r₂ olsun.
BCED dörtgeninden r₁.r₂=9 bulunur.
(ADFE) çemberinde T noktasına göre kuvvet hesaplarsak; AT.TF = DT.TE ve bilinen değerler ile birlikte TF=3/2 bulunur.
BFC üçgeninde [BC] ye ait kenarortay FK olsun. Buna göre kenarortay teoreminden,
BF²+CF²=2.FK²+BC²/2 ve bilinen değerleri kullanarak FK=3/2 bulunur.
m(BTC)=90 olduğunu biliyoruz. Buna göre, BK=KC=TK=3 olur. TF+FK=3 olduğundan T,F,K doğrusal noktalardır.
Buradan hareketle ABC üçgeni içinde AK kenarortayına göre teoremi yazarsak AB²+AC²=180 bulunur.