dik üçgen içindeki dikdörtgenin maximum alanı {çözüldü}

[ERhan ERdoğan]

Hipotenüs uzunluğu a olan bir dik üçgenin içerisine iki köşesi dik kenarların, diğer iki köşeside hipotenüsün üzerinde olacak şekilde
bir dikdörtgen çiziliyor.
Dikdörtgenin alanı S olmak üzere,
max(S) = a²/8   
olduğunu gösteriniz.

[geo]

m(ABC) = θ ve dikdörtgenin hipotenüse paralel olan kenarı x olsun.
Üçgenin yüksekliği (asin2θ)/2 olacağından dikdörtgenin diğer kenarı ((a-x)sin2θ)/2 olacaktır.
Dikdörtgenin alanı (x(a-x)sin2θ)/2 olacağı için, alan kenarları belirli bir üçgende (θ belirli) en büyük değerini x=a-x yani x=a/2 olduğunda alır.
Bu durumda max(S)=(a²/8).sin2θ dır.
max(sin2θ)=1 olduğu için sadece hipotenüsü belli bir üçgende alan en çok a²/8 olabilir.

İşin ilginç tarafı, dikdörtgen diğer türlü çizilince de alanın alabileceği en büyük değer max(S)=(a²/8).sin2θ çıkıyor.
Yani, köşeleri dik üçgenin kenarları üzerinde yer alan bir dikdörtgenin alanı en çok (a²/8).sin2θ oluyor.

Tüm bunlar, "bir dik üçgenin içine çizilebilecek en büyük alanlı dikdörtgenin alanı nedir?" sorusunu akla getiriyor. Ben henüz bir yargıya varamadım. Belki siz varırsınız.

[ERhan ERdoğan]

çözüm2.

[Lokman Gökçe]

... Tüm bunlar, "bir dik üçgenin içine çizilebilecek en büyük alanlı dikdörtgenin alanı nedir?" sorusunu akla getiriyor. Ben henüz bir yargıya varamadım. Belki siz varırsınız.

Soruyu şöyle soralım:

ABC üçgenin içine bir DEFG dikdörtgeni, D ve E noktaları [BC] üstünde, G noktası [AB] üstünde F noktası da [AC] üstünde yerleştirilsin.  Alan(DEFG) ≤ Alan(ABC)/2 olduğunu ispatlayınız.

Çözüm: DE = x, EF = y, BC = a olsun. A noktasından BC ye çizilen dikme ayağı H noktası olsun. AH = h diyelim. GF ile AH nın kesişimi de K noktası olsun. AK = h - y dir. AGF ~ ABC benzerliğinde yükseklikler oranı da benzerlik oranına eşit olduğundan (h - y)/h = x/a yazılır. Buradan

                    1 = x/a + y/h

bağıntısına ulaşılır. Aritmetik - geometrik ortalama eşitsizliğinden Alan(DEFG) ≤ Alan(ABC)/2 elde edilir. G, [AB] nin orta noktası ve F, [AC] nin orta noktası iken eşitlik sağlanır.