Dış açılarından biri diğerinin iki katı

[geo]

• İç açılarından biri diğerinin iki katı olan bir üçgende kenarlar arasındaki bağıntıyı bulun.
• Dış açılarından biri diğerinin iki katı olan bir üçgende kenarlar arasındaki bağıntıyı bulun.

Not: İlkiyle çok karşılaşmışsınızdır; ama ikincisini görmemiş olabilirsiniz.

[alpercay]

Birinciyi kanıtlayalım.ABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla a,b,c ve  <B=2<C olsun.BC kenarını B yönünde c kadar uzatalım ve oluşan ikizkenar üçgene AB'C üçgeni diyelim.Bu üçgende AB kesenine göre Stewart Teoremi yazarsak  c² = b² - a.c  ya da b² = c ( a + c ) elde olunur.

[alpercay]

İkinciyi kanıtlayalım.ABC  üçgenine B' noktasından dış açıortay teoremi uygulayarak  x = b.a / c-a eşitliğini elde edelim.BB' dış açıortayının uzunluğundan  x = a.c / b bulunur.İki eşitlik beraber düşünülürse  b² = c (c - a) elde edilir.

[geo]

Şöyle güzel bir soru sorabiliriz:

ABC üçgeninde AB²-AC²=AB.BC ve m(A)=30^o ise m(B)=?

[geo]

Bir de şöyle güzel bir soru çıkıyor:

ABC üçgeninde m(A)=30^o ve m(C) > 90^o dir. [AB] üzerinde BC=BD olacak şekilde bir D noktası alınıyor. D noktasının AC üzerindeki izdüşümü E, A noktasının BC üzerindeki izdüşümü ise F dir. CF=DE ise m(CDE)=?

[ERhan ERdoğan]

Şöyle güzel bir soru sorabiliriz:

ABC üçgeninde AB²-AC²=AB.BC ve m(A)=30^o ise m(B)=?

bir de şöyle sorsak , AC²-AB²=AB.BC ise.....

[geo]

Şöyle güzel bir soru sorabiliriz:

ABC üçgeninde AB²-AC²=AB.BC ve m(A)=30^o ise m(B)=?

bir de şöyle sorsak , AC²-AB²=AB.BC ise.....

Sizin sorunuza ben çözüm yazıyorum, benim sorularıma da siz çözüm yazarsınız.

AC²-AB²=AB.BC ise AC² = AB(AB+BC)
[AB üzerinde [AB] dışında BC'=BC olacak şekilde bir C' noktası alalım.
AC² = AB(AB+BC)=AB(AB+BC')=AB.AC' olduğu için
m(AC'C)=m(ACB)=m(BCC') olur. Bu durumda m(B)=2m(C) elde edilir.
m(A)=30 ise m(B)=100, m(C)=50 dir.

[alpercay]

İlk sorunuza çözüm yazıyorum.ABC üçgeninin AB kenarı üzerinde  |AC'|=c-a ve |BC'|=a olacak şekilde bir C' noktası alalım.
b²=(c-a).c eşitliği  CC'B üçgeninin çevrel çemberi çizildiğinde AC doğrusunun bu çembere teğet olduğunu söyler.Şekildeki açı eşitliklerinden  <2.C'=<B' olduğunu görülür.3x=210  ve x=70 olup  <B=40 derece bulunur.

[geo]

İki soru tipini birleştiren soru:

ABC üçgeninde kenarlar arasında a²+c² = 2b² ve a²-c²=2ac bağıntısı varsa, m(A)=?

[ERhan ERdoğan]

a²-2ac-c²=0  denkleminden a=(√2+1)c dir.
c=1 ve a=√2+1 alarak mevcut benzer üçgenlerden birisini seçelim.
a²+c²=2b²  denkleminde aldığımız değerleri kullanırsak b=√(2+√2) dir.
ABC üçgeninde a=√2+1 , b=√(2+√2) , c=1 değerleri için kosinüs teoreminden
cos(A)=-[√(2-√2)] /2  ve
m(A)=112,5^o

[geo]

Taraf tarafa toplarsak BC²=AC²+BC.AB.
AC²=BC(BC-AB)

Taraf tarafa çıkarırsak AB²=AC²-BC.AB.
AC²=AB(AB+BC)

[AB üzerinde [AB] dışında C' noktası BC'=BC,
[BC] üzerinde A' noktası AB=A'B olacak şekilde alınsın.

AC² = AB(AB+BC')=AB.AC' => m(BC'C)=m(ACB)=α => m(ABC)=2α.

AC²=BC(BC-A'B)=BC.A'C => m(AA'C)=m(BAC)=90^o+α ve m(A'AC)=2α.

Bu durumda 2α+α+90^o+α=180^o => α=22,5^o => m(A)=112,5^o

[geo]

Yine iki özelliği birleştirerek;

c²-b²=ab ve a²-b²=ac ise 1/a+1/c=1/b olduğunu gösteriniz.

*Bu arada, şeklini verdiğim soruya henüz çözüm yazılmadı.