Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 25

[geo]

$ABC$ bir üçgen; $|BC| > |BA|$ ve $D$ bu üçgenin iç bölgesinde $m(\widehat{ABD})=m(\widehat{DBC})$ koşulunu sağlayan bir nokta olmak üzere, $m(\widehat{BDC})=150^\circ$ ve $m(\widehat{DAC})=60^\circ$ ise $m(\widehat{BAD})$ kaç derecedir?

$
\textbf{a)}\ 45
\qquad\textbf{b)}\ 50
\qquad\textbf{c)}\ 60
\qquad\textbf{d)}\ 75
\qquad\textbf{e)}\ 80
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$[BA$ üzerinde $BE=BC$ olacak şekilde $E$ noktası alalım.

İkizkenar üçgenin tepe noktasından çıkan açıortay simetri ekseni olduğundan $\angle BDE = \angle BDC = 150^\circ \Rightarrow \angle EDC = 60^\circ$ ve $DE = DC$ dolayısıyla da $\triangle DEC$ eşkenardır.
$\angle DAC = \angle DEC = 60^\circ$ olduğu için $ADCE$ kirişler dörtgenidir. Bu durumda $\angle DCE = \angle DAB = 60^\circ$ olur.

[geo]

$\triangle ABC$ üçgeninin iç merkezi için $$\angle BIC = 90^\circ + \dfrac{\angle A}2 = 90^\circ + \angle IAC$$
bağıntısı vardır. $\angle IAC = 60^\circ$ ise $\angle BIC = 150^\circ$ olacaktır. $I \in [BD$ olduğu için $D$ noktası için soruda verilen her özellik $I$ noktası için de sağlanır. Bu durumda biraz da test mantığı ile $I=D$ kabul edip, $\angle BAI = \angle IAC = 60^\circ$ elde ederiz.

[geo]

$\angle ABD = \angle DBC = \alpha$ ve $\angle BAD = \beta$ olsun.
$\angle BCD = 30^\circ - \alpha$ ve $\angle ACD = 90^\circ - \alpha - \beta$ olacaktır.

$\triangle ABC$ de, $D$ noktası için Ceva Teoreminin Trigonometrik Halini uygularsak:
$$\dfrac {\sin \beta } {\sin 60^\circ} \cdot \dfrac {\sin (90^\circ - \alpha -\beta)}{\sin (30^\circ - \alpha)} \cdot \dfrac {\sin \alpha}{\sin \alpha} = 1 $$
Biraz düzenlemeyle $\sin \beta \cdot \cos (\alpha + \beta) = \cos 30^\circ \cdot \sin (30^\circ - \alpha)$ elde ederiz. Trigonometrik ters dönüşümlerle $\sin (\alpha + 2\beta) - \sin \alpha = \sin (60^\circ - \alpha) - \sin \alpha \Rightarrow \sin (\alpha + 2\beta) = \sin (60^\circ - \alpha)$ olur. Bu durumda $\alpha + 2\beta = 60^\circ - \alpha$ ya da $\alpha + 2\beta = 180^\circ - (60^\circ - \alpha) = 120^\circ + \alpha$ olur.
İlkinden $\beta = 30^\circ - \alpha$, ikincisinden $\beta = 60^\circ$ elde edilir. $\beta = 30^\circ - \alpha$ olduğunda $AB=BC$ olacağı, bu da sorudaki koşul ile çelişeceği için $\beta = 60^\circ$ tek çözümdür.