Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 17

[geo]

Bir $ABC$ üçgeninde $A$ açısının iç açıortayı ile $[BC]$ nın kesişim noktası $D$; $[CB$ ışını üzerinde $|DE|=|DB|+|BE|$ özelliğinde bir nokta $E$; $A$, $D$, $E$ noktalarından geçen çemberin $AB$ doğrusunu ikinci kez kestiği nokta $F$ ile gösterilmek üzere, $|BE|=|AC|=7$, $|AD|=2\sqrt 7$ ve $|AB|=5$ ise, $|BF|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{7\sqrt 5}5
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt 7
\qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \sqrt {10}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

$BD = 5k$ ise $DC = 7k$ dır. $B$ noktasının kuvvetini alırsak $$EB \cdot BC = AB \cdot BF \Rightarrow 7\cdot 5k = 5 \cdot BF \Rightarrow BF = 7k$$ elde edilir. Açıortay teoreminden $$AB\cdot AC - BD \cdot DC = AD^2 \Rightarrow 35-35k^2 = 28 \Rightarrow 7 = 35k^2 \Rightarrow k = \dfrac 1{\sqrt 5} \Rightarrow BF=7k= \dfrac{7\sqrt 5}5$$