Üçgen oluşması için bir gerek ve yeter koşul {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Soru: $a$, $b$, $c$ pozitif reel sayıları veriliyor. $a$, $b$ ve $c$ nin bir üçgenin kenar uzunlukları olabilmesi için gerek ve yeter şart $p+q = 1$ olacak şekilde herhangi $p$, $q$ reel sayıları için $$ pa^2+qb^2>pqc^2$$
olmasıdır, gösteriniz.

[Metin Can Aydemir]

İfadeyi düzenlersek $p^2c^2+p(a^2-b^2-c^2)+b^2>0$ olur. $f(p)=p^2c^2+p(a^2-b^2-c^2)+b^2$ olsun. Üçgen eşitsizliğinden $$\Delta=(a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2=(a^2-(b+c)^2)(a^2-(b-c)^2)<0$$ Yani $f$ fonksiyonunun kökü yoktur. $f(0)=b^2$ olduğundan her $p$ için fonksiyon pozitiftir.

Şimdi tersini ispatlayalım. Fonksiyonun daima pozitif olması için $\Delta$'nın negatif olması gerekir. Yani $$\Delta=(a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2=(a^2-(b+c)^2)(a^2-(b-c)^2)<0$$ olmalı, burada çarpanlardan biri pozitif, diğeri negatif olmalıdır.

$i)$ $(b-c)^2>a^2>(b+c)^2$ olursa pozitif reel sayılar denildiği için olamaz.

$ii)$ $(b+c)^2>a^2>(b-c)^2$ ise $b+c>a>|b-c|$ olur yani üçgen eşitsizliği olur.

Dolayısıyla üçgen olması için gerek ve yeterli şart $pa^2+(1-p)b^2>p(1-p)c^2$ olmasıdır.

[Lokman Gökçe]

Tebrikler metonster,

Bazen ikinci dereceden fonksiyon ve diskriminant incelemesi problem çözümlerinde çok kullanışlı olabiliyor. Buna bir diğer örnek Üçgende pozitif bir ifade başlıklı buradaki problemimizde verilmişti. Konu bütünlüğü açısından bağlantı vermiş olalım.