Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2019 Soru 20

[ERhan ERdoğan]

Dengede bulunan iki kefeli bir tartının sol kefesinde birkaç kırmızı, sağ kefesinde ise bir beyaz ve birkaç kırmızı taş bulunuyor. Sağ kefedeki taş sayısı sol kefedeki taş sayısından iki fazladır. Her bir kırmızı taşın ağırlığı $8, 29$ veya $57$ gram olduğuna göre, beyaz taşın ağırlığı en az kaç gram olabilir?

$\textbf{a)}\ 14 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 10  \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ 6 $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

Sol kefede $8,29,57$ gram ağırlığındaki kırmızı taşların sayısı sırasıyla $a,b,c$; sağ kefedeki kırmızı taşların sayısı da sırasıyla $x,y,z$ olsun. $a+b+c + 1 =x+y+z$ dir. Beyaz taşı ağırlığı $B$ olmak üzere $$ 8a+29b+57c = B + 8x + 29y + 57z $$ olup $$ B = 8(a-x) + 29(b-y) + 57(c-z) $$ yazılır. Burada $a-x=k$, $b-y=l$, $c-z=m$ dersek $$k+l+m=-1 \tag{1}$$ ve $$ B= 8k + 29l + 57m \tag{2} $$ olur. $(2)$ denkleminde $ k= -1-l-m $ yazılırsa $$ B= 21l +49m - 8 \tag{3}$$ elde edilir. Bu denklem $\mod 7$ de incelenirse $ B \equiv -1 \pmod{7}$ dir. $B=6$ en küçük pozitif değerdir.

$B=6$ değerine karşılık diğer bilinmeyenler için uygun değerler kolayca bulunabilir. $l=3,m=-1,k=-3$. Buradan $a-x=-3$, $b-y=3$, $c-z=-1$ dir. $a=0$, $x=3$, $b=3$, $y=0$, $c=0$, $z=1$ örneği bulunabilir.