Çözüm a
$ \max\{a_j : 1 \leq j \leq i \}$ ifadesi $\min \{a_j : i \leq j \leq n\}$ ifadesinden küçük ise d negatif olur dolayısıyla eşitsizlik doğrudur.
eğer böyle değilse
$a_\alpha = \max\{a_j : 1 \leq j \leq i \}$ ve $a_\beta = \min \{a_j : i \leq j \leq n\}$ diyelim.dolayısıyla $\alpha\le \beta$ elde ederiz bundan dolayı $x_\alpha\le x_\beta$ olduğunu da görürüz.
$\begin{equation} \max\{|x_i - a_i| : 1 \leq i \leq n\} \geq \max \{{ { |x }_{ \alpha }^{ } } -{ a }_{ \alpha }^{ }|,|{ x }_{ \beta }^{ }-{ a }_{ \beta }^{ }|\} \tag{*} \end{equation}$ olduğunu görmek de zor olmasa gerek.
Ek olarak $d=a_\alpha-a_\beta$ olduğunu da biliyoruz.O zaman
$\begin{equation}\max \{{ { |x }_{ \alpha }^{ } } -{ a }_{ \alpha }^{ }|,|{ x }_{ \beta }^{ }-{ a }_{ \beta }^{ }|\} \tag{*} \end{equation}\ge \frac { a_\alpha-a_\beta }{ 2 }$
olduğunu ispatlamak yeterlidir.
i)$x_\alpha-a_\alpha\ge 0$ ise
$(x_\beta-a_\beta)-(x_\alpha-a_\alpha)=(x_\beta-x_\alpha)+(a_\alpha-a_\beta)\ge a_\alpha-a_\beta$ bundan dolayı
$(x_\beta-a_\beta)\ge \frac { a_\alpha-a_\beta }{ 2 } $ bu doğrudur.
ii)$x_\alpha-a_\alpha\le 0$ ise
$(x_\beta-a_\beta)\ge 0$ olsun
olmasını aradığımız şey
$ \frac { a_\alpha-a_\beta }{ 2 }\ge a_\alpha-x_\alpha\ge 0$ ve $\frac { a_\alpha-a_\beta }{ 2 }\ge x_\beta-a_\beta \ge 0$ ifadelerinin aynı anda sağlanıp sağlanamayacağıdır.
taraf tarafa toplarsak
$a_\alpha-a_\beta \ge (a_\alpha-a_\beta)-(x_\alpha-x_\beta)$ oluyor.
elimizde $0\ge x_\beta-x_\alpha$ kalıyor ki bu da çelişki demektir.
$x_\beta-a_\beta\le 0$ ise
olmasını aradığımız şey
$ \frac { a_\alpha-a_\beta }{ 2 }\ge a_\alpha-x_\alpha\ge 0$ ve $\frac { a_\alpha-a_\beta }{ 2 }\ge a_\beta-x_\beta \ge 0$ ifadelerinin aynı anda sağlanıp sağlanmayacağıdır.
Ve bu iki sayı arasındaki farka bakacak olursak $(a_\alpha-a_\beta)+(x_\beta-x_\alpha) \ge a_\alpha-a_\beta$
ancak bu iki sayı arasındaki mümkün fark en fazla $ \frac { a_\alpha-a_\beta }{ 2 }$ olacağından ve
$ \frac { a_\alpha-a_\beta }{ 2 }\ge a_\alpha-a_\beta$ olamayacağından ötürü çelişki elde ederiz.
İspat bitti.
