Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2007 Soru 14

[MATSEVER 27]

Kaç farklı $n$ pozitif tamsayısı için $n!+24$ bir tamkaredir?


$\textbf{a) } 1$                               $\textbf{b) } 2$                               $\textbf{c) }4$                               $\textbf{d) } 8$                               $\textbf{e) } \text{Hiçbiri}$         

[ArtOfMathSolving]

Yanıt:$\boxed{B}$

Kolaylıkla görülebileceği üzere, $n=1,5$ için, ifade $25,144$ e eşit olacağından tamkaredir. $n>5$ için, $n!+4!=4!((5.6\dots n)+1)$. Denklemin Sağ tarafını incelersek, $(5.6\dots n)+1$ ifadesinin içinde en az $1$ tane $2$ ve $3$ çarpanı bulunmalıdır fakat $(5.6\dots n)+1 \equiv 1 \pmod3$ olduğundan içinde $2$ çarpanı yoktur. O halde $n>5$ için tamkare olamaz.