Öncelikle $f(x)=x^4-2019x-c$ fonksiyonunu tanımlayalım. Descartes işaret kuralından bu fonksiyonun tam olarak $1$ pozitif ve $1$ negatif kökü olduğu görülür. (Descartes İşaret Kuralının ne olduğunu
buradan inceleyebilirsiniz.) Dolayısıyla $a$ ve $b$'nin işaretleri farklıdır ve çarpımı negatiftir. Bizim $-\sqrt{c}<ab$ olduğunu yani $(ab)^2<c$ olduğunu göstermemiz yeterlidir. Fonksiyonun reel olmayan kökleri $m$ ve $n$ olsun. Vietta teoreminden, $$a+b+m+n=0 \tag{1}$$ $$ab+ma+na+bm+bn+mn=0\tag{2}$$ $$abmn=-c\tag{3}$$ $(1)$ eşitliğinden $m+n=-(a+b)$ bulunur. Bunu $(2)$'de yerine yazarsak $$ab+(a+b)(m+n)+mn=0 \Rightarrow mn=a^2+ab+b^2$$ bulunur. Bunu da $(3)$'de yerine yazarsak $$c=-ab(a^2+ab+b^2)$$ olur. Şimdi $c>(ab)^2$ olduğunu gösterebiliriz. $$c>(ab)^2\Leftrightarrow -ab(a^2+ab+b^2)>(ab)^2\Leftrightarrow (a+b)^2>0$$ olur. $a+b=0$ olamayacağı barizdir. Çünkü eğer olsaydı $$a^4-2019a=(-a)^4-2019(-a)\Rightarrow a=0$$ olur. Fakat $c$ pozitif olduğundan bu mümkün değildir. Dolayısıyla $c>(ab)^2$ 'dir ve buradan $$-\sqrt{c}<ab<0$$ bulunur.
