2023 Antalya Matematik Olimpiyatı'nın sorusudur. (2. Aşama (Final) 10. Sınıf Pr 14) Sorularda kaynak biliniyorsa, belirtilmelidir.
Yanıt: $\boxed{A}$
Çözüm: $ABC$ eşkenar üçgendir ve $ABCE$ bir kirişler dörtgenidir. $|AB| = a$, $|AE| = x$, $|EC| = y$ diyelim. $y>x$ varsayabiliriz. Çünkü $|y-x|$ ifadesinin değerini arıyoruz. Ptolemy teoreminden $x+y = 5$ elde edilir. $x^ 2 + y^2 + 2xy = 25$ yazılabilir.
Henüz $4$ uzunluğunu kullanmadık. Bunun için $AED$ üçgenini $D$ noktası etrafında pozitif yönde $60^\circ$ döndürerek $CFD$ üçgenini oluşturalım. $|CF| = |AE| = x$, $|FD| = |ED| = 4$ ve $\angle EDF = 60^\circ$ dir. Dolayısıyla $EFD$ bir eşkenar üçgen olup $|EF| = 4$ tür. Açı takibi yapılırsa $\angle ECF = 60^\circ$ bulunur. Böylece $ECF$ üçgeninde kosinüs teoreminden
$x^2 + y^2 - xy = 16$ olur.
$x^ 2 + y^2 + 2xy = 25$ eşitliğini göz önüne alırsak $xy = 3$, $x^2 + y^2 = 19$ bulunur.
$|y-x|^2 = x^ 2 + y^2 - 2xy = 19 - 2\cdot 3 = 13$ olup $|y-x| = \sqrt{13}$ elde edilir.
