Tübitak Lise Takım Seçme 2005 Soru 5

[Lokman Gökçe]

$m(\widehat{A})=90^{\circ}$ ve $m(\widehat{C})>m(\widehat{B})$ koşullarını sağlayan bir $ ABC$ üçgeninde, $A$ noktasından bu üçgenin $\Gamma $ çevrel çemberine çizilen teğet, $BC$ doğrusunu $D$ noktasında kesiyor. $A $ noktasının $BC$ doğrusuna göre simetriği $E$; $A$ noktasından $ BE$ ye çizilen dikmenin ayağı $X;$ $[AX]$ nın orta noktası $Y$; $\Gamma $ çemberinin $BY$ doğrusunu $B$ dışında kestiği nokta $Z$ olsun. $BD$ doğrusunun $ADZ$ üçgeninin çevrel çemberine teğet olduğunu gösteriniz.

[geo]

$AE\cap BC=\left\{H\right\}$ olsun. $E$, $A$ nın $BC$ ye göre simetriği olduğu için $AE\bot BC$ ve $AH=HE$ dir.

$AY=YX$ ve $AH=HE$ olduğu için $HY\parallel EX$ yani $HF\bot AY$ dir. Bu durumda $\angle AHY=\angle AEX=\angle AZB$ olduğu için $AZHY$ dörtgeni kirişler dörtgenidir. $\angle AYH={90}^{\circ }$ olduğu için $AH$ bu dörtgenin çevrel çemberinin bir çapıdır. $AH\bot CB$ olduğu için de $DH$ doğrusu bu çembere $H$ de teğettir. Yani $\angle ZAH=\angle ZHD$.

Öte yandan $DE$ de $\left(ABC\right)$ çemberine teğettir. $\angle DEZ=\angle ZAE=\angle ZHD$ olacaktır. Bu da $DEHZ$ dörtgeninin kirişler dörtgeni olması demektir. $\angle ZDH=\angle ZEA=\angle ZAD$ olduğu için de $BD$ doğrusu $\left(AZD\right)$ çemberine teğettir.