Bir Olimpiyat Problemi

[alpercay]

İkizkenar olmayan bir $ ABC $ üçgeninde $ A $ ve $ B $ açılarına ait açıortay uzunlukları ile bu açıortayların kestikleri kenarların uzunlukları ters orantılıdır. Buna göre $ m(C) $ kaç derecedir? (sharygin geometri olimpiyatlari-2012)

[alpercay]

Üçgenin $A$  ve $B$  köşelerinden çıkan  yükseklik ve açıortaylar sırası ile $h_a,n_A$  ve  $h_b,n_B$  bu ikilier arasındaki açılar sırasıyla    $\theta$  ve  $\alpha$   olsun.  Problemin hipotezinden   $n_B/n_A=at/bt$  ve her üçgen için geçerli olan  $h_a/h_b=bk/ak$  eşitliklerini yazabiliriz. Bir üçgende bir köşeden çıkan yükseklik ile açıoartay arasında kalan açı (kanıtı kolayca yapılabilir) eşitliğinden   $\alpha=|A-C|/2$   ve  $\theta=|B-C|/2$  eşitlilkleri de mevcuttur. Şimdi $cos\alpha=h_b/n_B=k/t=cos|A-C|/2$    ve     $cos\theta=k/t=cos|B-C|/2$   ise  $cos|A-C|/2=cos|B-C|/2$  trigonometrik eşitliğinden  ya  $A=B$  ya da  $A+B=2C$  olmalıdır. $ABC$  üçgeninin ikizkenar olma durumu dışlandığından geçerli olan ikinci eşitliktir. Üçgenin iç açıları arasındaki $A+B+C=180\,^{\circ}$  bağıntısı ve bu eşitlik birlikte düşünülürse   $<C=60\,^{\circ}$  derece  olduğu görülür.