Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2011 Soru 28

[Egemen]

Başlangıçta tahtada bir $n$ tamsayısı yazılıdır. İki oyuncu sırayla hamle yaparak; her hamlede tahtadaki sayıyı silip yerine o sayıdan büyük olan, ama o sayının iki katını aşmayan bir tamsayı yazıyorlar. Tahtaya $2011$ yazan oyuncu oyunu kazanıyor. Oyun $n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16$ değerlerinin her biri için birer kez oynanırsa, bu oyunların kaçını oyuna başlayan oyuncu kazanmayı garantileyebilir?

$\textbf{a)}\ 13\qquad\textbf{b)}\ 7\qquad\textbf{c)}\ 3\qquad\textbf{d)}\ 1\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[mustafaemir]

Yanıt : $\boxed{A}$
Bir oyuncuya sıra geldiğinde tahtada
$[1006,2010]$ aralığında bir sayı yazılıysa $2011$ yazar kazanır.
$1005$ yazılıysa $[1006,2010]$ aralığında bir sayı yazacağı için rakibini kazanan duruma düşürür ve kaybeder.
$[503,1004]$ aralığında bir sayı yazılıysa $1005$ yazarak kazanır.
$502$ yazılıysa $[503,1004]$ aralığında bir sayı yazacağı için rakibini kazanan duruma düşürür ve kaybeder.
$[251,501]$ aralığında bir sayı yazılıysa $502$ yazarak kazanır.
$250$ yazılıysa $[251,501]$ aralığında bir sayı yazacağı için rakibini kazanan duruma düşürür ve kaybeder.
$[125,249]$ aralığında bir sayı yazılıysa $250$ yazarak kazanır.
$124$ yazılıysa $[125,249]$ aralığında bir sayı yazacağı için rakibini kazanan duruma düşürür ve kaybeder.
$[62,123]$ aralığında bir sayı yazılıysa $124$ yazarak kazanır.
$61$ yazılıysa $[62,123]$ aralığında bir sayı yazacağı için rakibini kazanan duruma düşürür ve kaybeder.
$[31,61]$ aralığında bir sayı yazılıysa $62$ yazarak kazanır.
$30$ yazılıysa $[31,61]$ aralığında bir sayı yazacağı için rakibini kazanan duruma düşürür ve kaybeder.
$[15,29]$ aralığında bir sayı yazılıysa $30$ yazarak kazanır.
$14$ yazılıysa $[15,29]$ aralığında bir sayı yazacağı için rakibini kazanan duruma düşürür ve kaybeder.
$[7,13]$ aralığında bir sayı yazılıysa $14$ yazarak kazanır.
$6$ yazılıysa $[7,13]$ aralığında bir sayı yazacağı için rakibini kazanan duruma düşürür ve kaybeder.
$[3,5]$ aralığında bir sayı yazılıysa $6$ yazarak kazanır.
$2$ yazılıysa $[3,5]$ aralığında bir sayı yazacağı için rakibini kazanan duruma düşürür ve kaybeder.
$1$ yazılıysa $2$ yazarak kazanır.

Öyleyse oyuna başlayan oyuncunun kazanması için ilk sayının $14$,$6$ veya $2$ olmaması yeterlidir. Diğer $13$ ünde kazanmayı garantiler.