Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2011 Soru 14

[Egemen]

Aşağıdaki hangi $(A,B)$ ikilisi için, $2x+y = A$ ve $x^2+y^2 = B$ eşitliklerini sağlayan hiçbir $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi yoktur?

$ \textbf{a)}\ \left (\dfrac{5}{2},\dfrac{9}{7}\right)  \qquad\textbf{b)}\ \left (1,\dfrac{2}{9}\right)   \qquad\textbf{c)}\ \left (\dfrac{4}{3},\dfrac{1}{3}\right)   \qquad\textbf{d)}\ \left (\dfrac{9}{5},\dfrac{2}{3}\right)   \qquad\textbf{e)}\ \left (2,\dfrac{6}{7}\right)  $

[Eray]

Yanıt: $\boxed{C}$

$2x+y=A$ ise $y=A-2x$'tir. $x^2+y^2=B$ denkleminde $y$ yerine yazalım:

$x^2+(A-2x)^2=B \Longrightarrow x^2+A^2-4Ax+4x^2=B \Longrightarrow 5x^2 + (-4A)x + A^2-B=0$

Bu $x$'e bağlı $2.$ derece denklemin reel sayı çözümünün olabilmesi için $\Delta=b^2-4ac\geq0$, yani $(-4A)^2-4\cdot5\cdot(A^2-B)\geq0$ olmalıdır.

$(-4A)^2-4\cdot5\cdot(A^2-B)\geq0 \Longrightarrow 16A^2-20A^2+20B\geq0 \Longrightarrow 5B-A^2\geq0$ olmalıdır.

Şıklardaki $(A,B)$ ikilileri denenirse, $C$ şıkkındaki $(\dfrac{4}{3}, \dfrac{1}{3})$ ikilisi için $5B-A^2<0$ olduğu görülür.

[ERhan ERdoğan]

Cauchy-Schwarz dan $(2x+y)^2 \leq (2^2+1^2)(x^2+y^2) \Rightarrow A^2 \leq 5B$ dir.Şıkları denersek $ (A,B)= \left (\dfrac{4}{3},\dfrac{1}{3} \right)$ için eşitsizlik sağlanmaz.