Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 20

[geo]

$21$ gerçel sayıdan herhangi $10$ tanesinin toplamı, geri kalan $11$ tanesinin toplamından daha küçük ise, bu $21$ sayıdan en az kaç tanesi pozitiftir?

$
\textbf{a)}\ 18
\qquad\textbf{b)}\ 19
\qquad\textbf{c)}\ 20
\qquad\textbf{d)}\ 21
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

Sayılar arasında $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_{21}$ bağıntısı olsun.
$$a_1 + (a_2 + a_3 + \cdots + a_{11}) > (a_{12}+a_{13} + \cdots + a_{21})$$ $$a_1 > (a_{12}+a_{13} + \cdots + a_{21})-(a_2 + a_3 + \cdots + a_{11}) \geq 0$$ Bu durumda $$0 < a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_{21}$$ olacak, yani sayıların hepsi pozitif olacak.