Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 2006 Soru 5  (Okunma sayısı 3527 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2484
  • Karma: +9/-0
Tübitak Lise 2. Aşama 2006 Soru 5
« : Ağustos 06, 2013, 04:38:50 öö »
Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin yükseklikleri $\lbrack AA_{1}\rbrack $, $\lbrack BB_{1}\rbrack $ ve $\lbrack CC_{1}\rbrack $ olsun. $AB_{1}C_{1}$, $BC_{1}A_{1}$ ve $CA_{1}B_{1}$ üçgenlerinin iç merkezleri, sırasıyla, $O_{A}$, $O_{B}$ ve $O_{C}$ olsun. $ ABC$ üçgeninin iç teğet çemberi $BC$, $CA$ ve $AB$ kenarlarına, sırasıyla, $T_{A}$, $T_{B}$ ve $T_{C}$ noktalarında teğet ise, $ T_{A}O_{C}T_{B}O_{A}T_{C}O_{B}$ altıgeninin eşkenar olduğunu gösteriniz.

(Mehmet Tagiyev)
« Son Düzenleme: Kasım 13, 2013, 02:45:42 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2484
  • Karma: +9/-0
Ynt: 5 - Tashih edildi
« Yanıtla #1 : Ağustos 24, 2013, 12:10:40 ös »
$AC=b$ ve $\angle BAC=2\alpha$ olsun. $AC=b\cdot {\cos  2\alpha\ }$ olacaktır.


İster $BC_1B_1C$ kirişler dörtgeni olduğu için $(A.A)$ dan, ister $AB_1=c\cdot {\cos  2\alpha\ }$ eşitliğinden dolayı $\left(K.A.K\right)$ dan $\triangle AB_1C_1\sim \triangle ABC$ olacaktır. Benzerlik oranı ${\cos  2\alpha\ }$ dır.


Benzer üçgenlerin, açıortayları da benzer olacağından $\dfrac{AO_A}{AI}={\cos  2\alpha\ }$ olur.

$T_C$ den $AI$ ya inilen dikmenin ayağı $M$ ve $IT_C=r$ olsun. $\angle MT_CI=\alpha$ olacağı için

$MI=r\cdot {\sin  \alpha\ }$, $MT_C=r\cdot {\cos  \alpha\ }$ ve $AM=r\cdot \dfrac{{{\cos }^{{\rm 2}} \alpha\ }}{{\sin  \alpha\ }}$ olacaktır. Diğer taraftan, $\triangle AT_CI$ üçgeninde $AI=\dfrac{r}{{\sin  \alpha\ }}$ , dolayısıyla da $AO_A=r\cdot \dfrac{{\cos  2\alpha\ }}{{\sin  \alpha\ }}$ olacaktır.
$$AM-MI=r\cdot \dfrac{{{\cos }^{{\rm 2}} \alpha\ }}{{\sin  \alpha\ }}-r\cdot {\sin  \alpha\ }=r\cdot \dfrac{{{\cos }^2 \alpha\ }-{{\sin }^2 \alpha\ }}{{\sin  \alpha\ }}=r\cdot \dfrac{{\cos  2\alpha\ }}{{\sin  \alpha\ }}=AO_A$$
olduğu için
$$AM=MI+AO_A=MO_A+AO_A\Rightarrow O_AM=MI\Rightarrow O_AT_C=T_CI=r$$
elde edilir. Diğer uzunluklar için de aynı şeyleri yaptığımızda $T_AO_CT_BO_AT_CO_B$ altıgeninin tüm  kenarlarının $r$ ye eşit olduğu görülür.
« Son Düzenleme: Eylül 01, 2013, 09:57:38 ös Gönderen: bosbeles »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal