Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 24

[AtakanCİCEK]

Bir sözlü sınava katılan $26$ öğrencinin her birine sabah seansında $1$ ve akşam seansında $1$ olmak üzere, $2$ farklı soru soruluyor. Sorulan soruların hepsinin aynı kitaptan olduğu ve aynı seansta birden fazla öğrenciye sorulmadığı ve her öğrenci için o öğrenciye $2$ sorudan en az birinin başka öğrenciye sorulmadığı biliniyor. Buna göre kitapta en az kaç soru bulunabilir?

$\textbf{a)}\ 28 \qquad\textbf{b)}\ 33  \qquad\textbf{c)}\ 36 \qquad\textbf{d)}\ 42 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[geo]

Yanıt: $\boxed E$

Cevap: $39$.

Sabah seansında sorulan sorular kümesi $S_1$, akşam seansında sorulan sorular $S_2$ olsun. Bir soru $A$ ve $B$, bir diğer soru ise $C$ ve $D$ öğrencilerine sorulduysa, bu dört öğrenciye sorulan ikinci sorular birbirinden farklı olacaktır. Bu nedenle, $2\left|S_1 \cap S_2\right| \leq\left|S_1-S_2\right|+\left|S_2-S_1\right|$ ve buradan $\left|S_1 \cup S_2\right| \geq 3\left|S_1 \cap S_2\right|$. O zaman $\left|S_1 \cup S_2\right|=\left|S_1\right|+\left|S_2\right|-\left|S_1 \cap S_2\right|$ olduğundan $\left|S_1 \cup S_2\right| \geq \frac{3}{2} \cdot 26=39$.
$39$ için örnek: $i=1, \ldots, 13$ olmak üzere, $s_i$ sorusu birinci seansta $i$ nolu öğrenciye, ikinci seansta $13+i$ nolu öğrenciye sorulsun ve bütün öğrencilerin ikinci soruları birbirinden farklı olsun.

Kaynak: Tübitak 26. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2018