Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2014 Soru 3

[mehmetutku]

Her renkten $19$ ar tane olmak üzere, $106$ farklı renkte $2014$ top bir çemberin çevresine nasıl dizilirse dizilsin, aralarında en az $53$ farklı renkte topun yer aldığı ardışık $n$ top bulunuyorsa, $n$ sayısının alabileceği en küçük değeri belirleyiniz.

(Azer Kerimov)

[Lokman Gökçe]

Çözüm: Aynı renkli toplar ardışık şekilde dizilirse $n$ sayısı en az $19 \cdot 51 + 2 = 971$ olmak zorundadır. $2014$ topun bir çemberin etrafındaki herhangi bir dizilimini ele alalım. Bu dizilimde $53$ farklı renkte topun yer aldığı ardışık toplardan oluşan ve en az top içeren grup $G$ olsun (birden fazla böyle grup varsa bunlardan herhangi birini alıyoruz). $G$ grubundaki top sayısı $\ell (G)$ olsun. $G$ grubundaki saat yönündeki ilk ve son topların renkleri sırasıyla $a$ ve $b$ olsun. $G$ grubu en az sayıda top içerdiği için $a  \neq b$ ve bu grupta kalan topların her birinin rengi $a$ ve $b$ renklerinden farklıdır. Sonuç olarak, $\ell (G) \leq 19 \cdot (53 − 2) + 2 = 971$. İspat tamamlanmıştır.



Kaynak: Tübitak'ın sitesinde sunulan resmi çözüm kitapçığından alınmıştır.