Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1976 Soru 5

[ERhan ERdoğan]

$q=2p$ ve her $a_{ij}$ katsayısının $\{-1,0,1\}$ kümesinin bir elemanı olduğu, $x_1, x_2, \dots, x_q$ bilinmeyenli $p$ denklemli aşağıdaki denklem sistemini ele alalım: $$
\begin{array}{rcl}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1q}x_q &=& 0 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2q}x_q &=& 0 \\
&\vdots & \\
a_{p1}x_1 + a_{p2}x_2 + \dots + a_{pq}x_q &=& 0
\end{array} $$
Sistemin

• tüm $x_j$ ler ($j=1,2,\dots, q$) birer tam sayı,
• en az bir $j$ değeri için $x_j \neq 0$,
• $|x_j| \leq q$ ($j=1,2,\dots, q$)

olacak şekilde bir $(x_1,x_2, \dots, x_q)$ çözümünün olduğunu kanıtlayınız.