20. Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatı Soruları

[mehmetutku]

25.

Cauchy Schwarz eşitsizliğinden

$(\dfrac{|BC|}{x}+\dfrac{|AC|}{y}+\dfrac{|AB|}{z})\cdot(|BC|\cdot x+|AC|\cdot y+|AB|\cdot z) \ge (|BC|+|AC|+|AB|)^2$     dir.

$|BC|\cdot x+|AC|\cdot y+|AB|\cdot z$   ifadesi üçgenin alanının iki katına eşittir. Yani sabittir. Ayrıca  $(|BC|+|AC|+|AB|)^2$   ifadesi de üçgenin çevresinin karesine eşittir. Yani o da sabittir. O zaman $\dfrac{|BC|}{x}+\dfrac{|AC|}{y}+\dfrac{|AB|}{z}$  ifadesinin minimum olması için eşitlik durumu olmalıdır.   Bu eşitsizliğin eşitlik durumu da   $\dfrac{\dfrac{|BC|}{x}}{|BC|\cdot x}=\dfrac{\dfrac{|AC|}{y}}{|AC|\cdot y}=\dfrac{\dfrac{|AB|}{z}}{|AB|\cdot z}$  olduğu zaman yani   $\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{1}{z^2}$   olduğunda olur.  Bu da  $x=y=z$    demektir  yani  $P$  üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

[mehmetutku]

11.

A nın sayılarına göre durumlara ayıralım.

$0$ tane A  varsa $\Rightarrow \dbinom {9}{0}\cdot2^9=512$

$2$ tane A  varsa $\Rightarrow \dbinom {9}{2}\cdot2^7=4608$

$4$ tane A  varsa $\Rightarrow \dbinom {9}{4}\cdot2^5=4032$

$6$ tane A  varsa $\Rightarrow \dbinom {9}{6}\cdot2^3=672$

$8$ tane A  varsa $\Rightarrow \dbinom {9}{8}\cdot2^1=18$

Cevap : $512+4608+4032+672+18=9842$  bulunur.

[mehmetutku]

4.

$B$  köşesine  $(0,0)$  noktası diyelim.  Ve üçgeni karmaşık sayılar düzlemine yerleştirelim.  $A$  köşesi $(a+15i)$   ve  $C$  köşesi de  $(b+3i)$  olsun.

Teorem: $\angle ABC=\alpha$  ve $A=(a+ci)$  ve  $C=(b+di)$  ise  $(a+ci)\cdot (\cos \alpha+i\cdot \sin \alpha)=(b+di)$   dir.

O zaman  $(a+15i)(\cos 60+i\cdot \sin 60)=(b+3i)$

$(a+15i)(\dfrac{1}{2}+i\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2})=(b+3i)$

$\dfrac{a-15\sqrt{3}}{2}+i\cdot \dfrac{15+a\sqrt{3}}{2}=b+3i$

$\dfrac{a-15\sqrt{3}}{2}=b$   ve   $ \dfrac{15+a\sqrt{3}}{2}=3$

$a=-3\sqrt{3}$   ve   $b=-9\sqrt{3}$   olur.   Bir karmaşık sayının ($a+bi$) orjine olan uzaklığı  $\sqrt{a^2+b^2}$  olduğu için  $A$  köşesinin  $B$  köşesine uzaklığı  $\sqrt{(-3\sqrt{3})^2+15^2}=\sqrt{252}$   bulunur.  Yani eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğunu bulduk. Bu üçgenin alanı ise $\dfrac{252\sqrt{3}}{4}={63\sqrt{3}}$   bulunur.

[taftazani44]

4. Soru AC uzatılıp benzerlik, dik üçgen ve Cos teo.den de olur.

[cersoy]

 
x in rasyonel olması durumunda hem c hemde  d irrasyonel olacaktır.oysa sadece bir sayı irrasyoneldir.
o halde x irrasyonel olmak zorundadır.buna göre;

a+b=4x/3-1/x+1/x-x/3=x

 Bundan dolayı,a ve b den en az biri irrasyoneldir.O halde,c ve d rasyoneldir.
c=x-√(3 )  ∈Q olur.x=c+√3   dir.d=(c+√3)^2-3√3∈Q

d=c^2+2c√3+3-3√3  ∈Q ise 2c=-3 olur.
d=(-3/2)^2+3=21/4

[Lokman Gökçe]

10. Cevap $\boxed{B}$

$-1,1,2,3$ sayılarından sırasıyla $a,b,c,c$ tane bulunsun. $-a+b+5c=5$ ve $a+b+97c=995$ dir. $T=x_1^5 +x_2^5 + \dots +x_n^5$ olsun. $T=275c$ olduğundan $c$ nin değerini minimum seçtiğimizde $T$ ifadesi de minimum olur. Yani $c=1$ için $T_\min =275$ elde edilir. Bu halde $a=b$ ve $a+b=898$ dir. $n=a+b+c+c = 449 +449 + 1 + 1 = 900$ bulunur.

[Lokman Gökçe]

13.

$\dfrac{1}{n+1}<(\sqrt5 - 2)^4 < \dfrac{1}{n}$ eşitsizliğini $n<(\sqrt5 + 2)^4 < n+1$ biçiminde ifade edelim. $a,b$ pozitif tamsayılar olmak üzere $(\sqrt5 + 2)^4 = a + b\sqrt5$ biçimindedir.

Dolayısıyla $ (\sqrt5 - 2)^4 = a - b\sqrt5$ olur. Üstelik $ 0< \sqrt5 - 2<1$ olduğundan $ 0< (\sqrt5 - 2)^4<1$ dir. Böylece

$ (\sqrt5 + 2)^4 + (\sqrt5 - 2)^4 = 2a $ ve $ 2a-1 < (\sqrt5 + 2)^4 < 2a $ olur.

$ (\sqrt5 + 2)^4 + (\sqrt5 - 2)^4 = 2\cdot (5^2 + 6\cdot 5\cdot 2^2 + 2^4) = 322$ elde edilir. $n=321$ bulunur.

[muuurat]

15.
a$\leq$b$\leq$c olsun.a=$\frac{5-bc}{b+c-bc}$dir.a pozitif tamsayı olduğundan 5$\geq$b+c olmalıdır.a=1 için b+c=5.......(a,b,c)=(1,1,4)$\mapsto$3 tane ,      (a,b,c)=(1,2,3)$\mapsto$3!=6 tane. a,b ve c den ikisi tek sayı olmak zorundadır.a=2 olduğunda b ve c tek sayı olduğundan b+c toplamı 5 i geçeceğinden çözüm bitmiştir.Toplam 3+6=9 tane çözüm üçlüsü vardır.

[muuurat]

16.
($\sqrt{3}+\sqrt{2}$)³=$9\sqrt{3}+11\sqrt{2}$
P(x)=(-1/2)x³+(11/2)x+1 polinomu aranan polinomdur.Buradan P(3)=4 bulunur.

[muuurat]

14.
$ G $ Merkez ve $ |GC|=r $ olmak üzere $|CE|=x $ ve $|CF|=y $ olsun.$ r^2=xy $ ve Pisagor dan $ x^2+y^2=4r^2 $elde edilir.Buradan $ x^2-4xy+y^2=0 $ denklemi elde edilir.Denklemden $ x=y(2\mp\sqrt{3}) $ olur.Bu da bilindiği üzere $ 15^\circ,75^\circ,90^\circ $ üçgenidir.Yani en küçük açı $ 15^\circ $ dir.