Tübitak Lise 2. Aşama 2005 Soru 1

[geo]

Tüm $a,b,c,d$ pozitif gerçel sayıları için, $$\sqrt{a^{4}+c^{4}}+\sqrt{a^{4}+d^{4}}+\sqrt{b^{4}+c^{4}}+\sqrt{b^{4}+d^{4}}\ge 2\sqrt{2}(ad+bc)$$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

Kuvvetler Ortalaması eşitsizliğinden $$\left ( \dfrac {a^4 + c^4}{2} \right )^{1/4} \geq \left ( \dfrac {a^2 + c^2}{2} \right )^{1/2} \Rightarrow \sqrt {a^4+c^4} \geq \dfrac {a^2 + c^2}{\sqrt 2}$$
Diğer terimler için de aynısını yapıp taraf tarafa toplarsak
$$\sqrt{a^4+c^4}+\sqrt{a^4+d^4}+\sqrt{b^4+c^4}+\sqrt{b^4+d^4}$$ $$\geq \dfrac {2a^2+2b^2+2c^2+2d^2}{\sqrt 2}$$ $$\geq \sqrt 2 \cdot (a^2 + d^2 + b^2 + c^2)$$ $$\geq 2\sqrt 2 (ad+bc) $$