Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2004 Soru 2

[ERhan ERdoğan]

$n$ pozitif tam sayısı, $n+6$ sayısını bölen iki pozitif tam sayının toplamı ise, $n$ nin alabileceği tüm değerleri bulunuz.

[ygzgndgn]

$x \mid n+6$, $y \mid n+6$ ve $x+y=n$ olsun. Yerine yazarsak $x \mid x+y+6\Rightarrow x \mid y+6$ ve $y \mid x+y+6\Rightarrow y \mid x+6$ elde edilir. Bu bölünebilme koşullarından ise $y+6\geq x$ ve $x+6\geq y$ bulunur. Genelliği bozmadan $x\geq y$ alalım. $6\geq x-y\geq 0$ elde edilir. Buradan durum incelemesi yapılabilir.

$(i)$ $x-y=6$ durumu. $n=2y+6$ olur. $y|n+6=2y+12\Rightarrow y \mid 12$ olmalıdır. $y=1,2,3,4,6,12$ olabilir. Buna bağlı olarak $n=8,10,12,14,18,30$ bulunur.
$(ii)$ $x-y=5$ durumu. Çözüm gelmez.
$(iii)$ $x-y=4$ durumu. $y \mid 10$ ve $n=2y+4$ olur. $n=12$ tek çözüm.
$(iv)$ $x-y=3$ durumu. Çözüm gelmez.
$(v)$ $x-y=2$ durumu. $y \mid 8$ ve $n=2y+2$ olur. $n=6$ tek çözüm.
$(vi)$ $x-y=1$ durumu. Çözüm gelmez.
$(vii)$ $x=y$ durumu. $y \mid 6$ ve $n=2y$ olur. $n=2,4,6,12$ elde edilir.

$\boxed{n=2,4,6,8,10,12,14,18,30}$ değerleri bunu sağlar.