Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 10

[geo]

On tabanına göre yazılımı $50$ basamaklı olan bir $N$ tam sayısının soldan $26.$ basamağı dışındaki bütün basamaklarında $1$ rakamı bulunuyor ve $N$, $13$ ile bölünüyorsa, $N$ nin yazılımında soldan $26.$ rakam nedir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ \text {Veriler yetersizdir}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$N= 10^{49} + 10^{48} + \dots + 10^{25} + a\cdot 10^{24} + 10^{23} + \dots + 1$ ise, amacımız $a$ yı bulmak. Biraz düzenlemeyle
$$ \begin{array}{rcl}N &=& (1+10^2 + \dots + 10^{49}) + (a-1)10^{24} \\
&=& \dfrac {10^{50}-1}{9} + (a-1)10^{24}
\end{array}$$ elde edilir. $A=\dfrac {10^{50}-1}{9} \Rightarrow 9A = 10^{50}-1$ olsun.
Fermat'ın Küçük Teoreminden $10^{12} \equiv 1 \pmod {13}$ olduğu için,
$$9A\equiv 10^{50} - 1 \equiv 100 - 1 \equiv 99 \equiv 8 \pmod {13}$$ tür.
$9A \equiv 8 \pmod{13}$ denkliğinin çözümü $A=11$ dir. Bu durumda,
$$N = \dfrac {10^{50}-1}{9} + (a-1)10^{24}  = A + (a-1)10^{24} \equiv 11 + a-1 \equiv 0 \pmod{13} \Rightarrow a \equiv 3 \pmod {13}$$ elde ederiz.