Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 22

[ERhan ERdoğan]

$n$ ve $m$ tam sayılar olmak üzere,$n \leq 2007 \leq m$ ve $n^n \equiv -1 \equiv m^m \pmod{5}$ ise, $m-n$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ 8
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Her $k$ tam sayısı için $1^k \equiv 1 \pmod{5}$ ve $5^k\equiv 0\pmod{5}$ tir. $k=1,2,3,4$ için $2^k\equiv 2,-1,3,1\pmod{5}$ , $3^k\equiv 3,-1,2,1\pmod{5}$, $4^k\equiv -1,1,-1,1\pmod{5}$ olur.

$m-n$ nin en küçük değerini bulmak için $n$ nin en büyük değeri ile $m$ nin en küçük değerini belirlemeliyiz. $n=2007,2006, \dots $ değerleri geriye doğru denenirse ilk olarak $n=2002$ için $2002^{2002} \equiv 2^2 \equiv -1 \pmod{5}$ elde edilir. $m=2007,2008, \dots $ değerleri geriye doğru denenirse ilk olarak $m=2009$ için $2009^{2009} \equiv 4^1 \equiv -1 \pmod{5}$ elde edilir. Dolayısıyla $m-n=2009-2002=7$ bulunur.