Osman kardeşim başlangıç yolun doğru aslında.
x3 +y3 + z3 = (x+y+z)(x2+y2+z2-(xy+yz+xz))
özdeşliğini kullanırsak (x+y+z)(x2+y2+z2-(xy+yz+xz)) = p olup
ya (x+y+z) = 1 ve (x2+y2+z2-(xy+yz+xz)) = p
veya (x+y+z) = p ve (x2+y2+z2-(xy+yz+xz)) = 1 olmalıdır.
sen ilk durumu incelemişsin ve muhaldir. Buraya kadar doğru bir tesbit yapmışsın. Şimdi de 2. duruma bakalım,
(x2+y2+z2-(xy+yz+xz)) = 1 eşitliğinin her iki yanı da 2 ile çarpılırsa
(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = 2 olur. Buradan
|x - y| = 1, |y - z |= 1, z - x = 0 gibi bir durum ve bunun permütasyonları elde edilir. x - y = 1, y - z = -1, z = x için x = x, y = x - 1, z = x bulunur. x + y + z = p olacağından 3x - 1 = p ve x = (p + 1)/3 olur. y = (p - 2)/3, z = (p + 1)/3 tür. simetriden dolayı bu üçlünün tüm permütasyonları da çözümdür. tabii bu çözüm için p = 3k + 2 gibi bir asal sayı olmak zorundadır. eğer p = 3k + 1 şeklinde bir asal ise (örn p = 7) bu defa x - y = -1, y - z = 1, z - x = 0 alarak x = x, y = x + 1, z = x bulunur. x + y + z = p olduğundan 3x + 1 = p ve x = (p - 1)/3 tür. y = (p + 2)/3, z = (p - 1)/3 tür. Yine simetriden dolayı bu üçlünün tüm permütasyonları çözüm üçlüsü oluşturur.
