Açı-Kenar {çözüldü}

[geo]

ABC üçgeninde,
D∈[BC], |BD|=4, |DC|=5, |AC|=7 ise
x=∠ADB, y=∠CBA, z=∠DAC açılarını küçükten büyüğe sıralayınız.

[ERhan ERdoğan]

Üçgenin A köşesi C merkezli 7 birim yarıçaplı çember üzerinde değişmektedir.
Bu çember [BD]'nin orta noktasından geçmektedir.Buna göre [BD]'nin orta dikme doğrusu [AD]'yi kesmez.
O halde ; x>y dir.

|AC|² > |DC|.|BC|  olduğundan, [AC] üzerinde öyle bir E noktası için, |EC|² = |DC|.|BC| eşitliği sağlanır.
Bu eşitlik ∠DEC = ∠EBC demektir.
O halde ; y>z dir.

Sonuç olarak , x>y>z dir.

[geo]

Soruya test mantığı ile yaklaşalım.
AD, BC ye dik olsun.
AD² = 7²-5² = 24 ⇒ AD = 2√6.
tan z  = 5/(2√6), tan y = 2√6/4 =
tan y > tan z ⇒ 90⁰ = x > y > z.

Diğer çözümlere sonra değineceğim. Ama temelde Erhan hocamın çözümüne dayanıyor.

[geo]

Çözüm 1:

Üçgenin A köşesi C merkezli 7 birim yarıçaplı çember üzerinde değişmektedir.
Bu çember [BD]'nin orta noktasından geçmektedir.Buna göre [BD]'nin orta dikme doğrusu [AD]'yi kesmez.
O halde ; x>y dir.

Yukarıdakinin özdeşi "CAE ikizkenar üçgen olduğu için A'dan inen yükseksik D ye B den daha yakın olacak."

Buradan sonra, ABGD paralelkenarını kuralım.
AD<AB olduğu için  ∠BAE < ∠AGB = ∠EAD.
∠BAE = ∠CEA - ∠ABE
∠EAD = ∠EAC - ∠DAC
ECA üçgeni ikizkenar olduğu için,
∠BAE = ∠CEA - ∠ABE < ∠EAD = ∠EAC - ∠DAC.
Buradan da ∠DAC = z < ∠ABE = x elde edilir.

Çözüm 2:

|AC|² > |DC|.|BC|  olduğundan, [AC] üzerinde öyle bir E noktası için, |EC|² = |DC|.|BC| eşitliği sağlanır.
Bu eşitlik ∠DEC = ∠EBC demektir.
O halde ; y>z dir.

Aynı durumu şöyle de elde edebiliriz.
D den geçen ve CA ya A da teğet olan çember BC yi F de kessin.
AC² = CD.CF olacağından CF= 49/5= 9,8, buradan da DF=4,8 > DB çıkar. Yani F, [CB üzerinde, [BC] nin dışındadır. Bu durumda ∠DAC = ∠AFB = z < ∠ABD = y elde edilir.

Çözüm 1'deki gibi
∠DAC < ∠ABD eşitsizliğinden ikizkenarlıktan dolayı ∠DAE > ∠BAE elde edilir.
ABGD paralelkenarı kurulduğunda AB > AD, buradan da x > y elde edilir.