Tam sayı kenarlı dik üçgenler

[Mathopia]

Kenar uzunlukları tam sayı olan her dik üçgenin en az bir kenarı 5 ile tam bölünür. Gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

$m,n$ aralarında asal pozitif tamsayılar ($m \ge n$) olmak üzere $(m^2 - n^2, 2mn, m^2 + n^2) $ üçlülerine temel Pisagor üçlüleri denir. Kenarları tamsayı olan tüm dik üçgenlerin kenarları bu üçlülerdir (ya da bunların bir tamsayı katıdır). Dolayısıyla temel Pisagor üçlülerini kullanmak problemimiz için yeterlidir. Eğer $2mn$ sayısı $5$ ile bölünüyorsa ispatlanacak birşey yoktur. Eğer $2mn$ sayısı $5$ ile bölünmüyorsa bu durumda  $m,n \equiv 1, 2, 3, 4 \mod5$ olabilir. Bu sayıların karelerini alırsak $m^2,n^2 \equiv 1, 4 \mod5$ olur. Bu halde ya $m^2 - n^2 \equiv 0 \mod5$ ya da $m^2 + n^2 \equiv 0 \mod5$  tir. Göstermek istediğimiz de zaten buydu.