Tübitak Lise 1. Aşama 2006 Soru 18

[geo]

$S = \{n : n3^n + (2n + 1)5^n \equiv 0 \pmod 7\}$ ise, her $n\in S$ için, $n + k \in S$ olmasını sağlayan en küçük pozitif $k$ tam sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 7
\qquad\textbf{c)}\ 14
\qquad\textbf{d)}\ 21
\qquad\textbf{e)}\ 42
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$n\in S$ olan herhangi bir $n$ alalım ve $n\equiv a\pmod{7}$ olsun. $a\not\equiv 0$ olmalıdır aksi takdirde kümenin şartı olan denklik sağlanmaz. Dolayısıyla $7$ modunda $a$'nın tersi vardır ve $$-(2a+1)5^n\equiv a3^n\pmod{7}\implies -a^{-1}(2a+1)\equiv -2-a^{-1}\equiv \left(3\cdot 5^{-1}\right)^n\equiv (3\cdot 3)^n\equiv 2^n\pmod{7}$$ olacaktır. $2^n$ ifadesi $7$ modunda sadece $n\equiv 0,1,2\pmod{3}$ için $1,2,4$ değerlerini alabilir. Bu değerlerin her biri için de  $a^{-1}$'e bağlı lineer bir denklem çıkacağından tam olarak bir tane $a$ değeri çıkacaktır. Yani $n$'nin $3$'e bölümünden kalana göre $7$'e bölümünden kalan değişecektir ve çin kalan teoreminden her durum için mod $21$'de tam olarak bir çözüm çıkacaktır. Yani her $21$ eklendiğinde yine çözüm gelecektir. $k=21$ olmalıdır.

Not: Bu kümenin elemanı olan $n$ sayıları şu şekildedir, $$n\equiv 8,9,19\pmod{21}$$