Yanıt: $\boxed B$
Cevap: $30 \cdot 7!$.
Öncelikle her gün $3$ kişi davete katılacağından toplam $7 \cdot \dbinom 32$ tane ikili oluşmaktadır. Diğer taraftan, $\dbinom 72 = 7 \cdot \dbinom 32$ olduğundan her ikili tam olarak bir kez beraber davete katılmalıdır, bu da her arkadaşın tam olarak üç kez davete katılacağını gösterir. Ali'nin arkadaşlarına $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$ diyelim. $A$ nın davete katıldığı günleri $\dbinom 73$ şekilde seçebiliriz, genelliği bozmadan Pazartesi, Salı, Çarşamba olsun. Davete $A$ ile beraber katılan arkadaşları $\dbinom 62$ şekilde seçebiliriz, genelliği bozmadan $B$ ve $C$ olsun. $B$ nin davete katıldığı günler, Perşembe, Cuma, Cumartesi, Pazar günlerinden ikisi olmalıdır, $\dbinom 42$ şekilde seçebiliriz, genelliği bozmadan Perşembe ve Cuma olsun. O zaman $C$ nin davete katıldığı diğer günler Cumartesi ve Pazar olur. $D$, Salı-Çarşamba, Perşembe-Cuma, CumartesiPazar ikililerinden tam olarak birer tanesinde davete katılmış olmalıdır, $2^3$ şekilde seçebiliriz, genelliği bozmadan Salı, Perşembe, Cumartesi olsun. $E$, $F, G$ nin her biri Salı-Perşembe-Cumartesi günlerinden farklı olan birer tanesi katılmalı, $3!$ şekilde seçebiliriz, genelliği bozmadan $E$ Salı günü, $F$ Perşembe günü, $G$ Cumartesi günü katılmış olsun. Buradan $E$ nin davete katıldığı diğer günler Cuma ve Pazar, $F$ nin davete katıldığı diğer günler Çarşamba ve Pazar, $G$ nin davete katıldığı diğer günler Çarşamba ve Cuma olarak belirlenmiş olur. Dolayısıyla cevap
$\dbinom 73 \cdot \dbinom 62 \dbinom 42 \cdot 2^3\cdot 3! = 30 \cdot 7!$ olur.
Kaynak: Tübitak 25. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2017
