karmaşık sayılar

[bunyamin]

arkadaşlar kitaplarda karekök -4 ile karekök -9 un toplamı kaçtır şeklindeki sorular hep 5i diye çözülmüş sizce de doğrumu yoksa bunun birden fazla cevabı olmazmı mesela -4 ün karekökü -2i olamazmı.

[onur]

-1 in karekökü i olarak alındığından -4 dede aynı mantık geçerli. -4 ü (-1)4 şeklinde yazarsak -1 in karekökü i 4 ün karekökü 2 olur.dolayısıyla -4 ün karekökü 2i olur.başka sonuç yoktur bence.

[bunyamin]

-4=4cis180 olup karekökleri 2cis90 ve 2cis 270 değilmidir?

[Lokman Gökçe]

haklısınız Bünyamin kardeşim. (Yanılmıyorsam, bu sorunuz daha önce de sorulmuştu forumda) Kitaplarda şöyle bir kabul var. kök(-4) = 2i diye alalım. -kök(-4) = -2i diye alalım deniyor. Fakat konunun sonunda kök(a + ib) nin hesaplanması anlatılırken de karekökün 2 tane değeri olduğu söyleniyor. Hatta karmaşık sayıların ilk testlerinde küpkök(-8) = -2 olarak alınarak işlem yapılıyor. sonra küpkök alma anlatılırken 3 tane kökün olduğu söyleniyor. Dediğiniz şekilde bir gösterim sıkıntısı var bence de.

[idensu]

Aslında bu konuda çok tartıştık . Karekök sembolü gerçel sayılarda kullanılan ve gerçel sayılarda anlamını bulan bir kavram. Bana kalırsa karekök sembolü karmaşık sayılarda kullanılmamalı. Çünkü kökx'i bir işlem olarak düşünürsek birden fazla sonuç olamaz.
Karmaşık sayılarda sorular aslında şöyle sorulursa daha iyi olur diye düşünüyorum.
karesi 4+3.i olan karmaşık sayılardan biri nedir?
soru şöyle sorulduğunda sürekli başımız ağrıyacak  kök(4+3.i) lerden biri nedir?
Bunu neden söylüyorum?  çünkü sadece karmaşık sayılarda değil başka kümelerde başımız ağrıtacak örneklerle karşılaşıyoruz.
Örneğin Z/7 de kök(2).x=1 denkleminin çözüm kümesi nedir? diye soruluyor ve yanıt {2,5} olarak veriliyor. Oysa bu denklem birinci dereceden olup en çok bir tane kökü olmalıdır. Bu sıkıntının kaynağı karmaşık sayıların sıralı cisim olmamasından kaynaklanıyor. Tıpkı Z/7 nin sıralı cisim olmaması gibi. Onun için kök sembolünün sadece gerçel sayılarda kullanmak doğru. Çünkü orada işin içine mutlak değeri katıp pozitif sayıyı almakla sorunu halletmiş oluyoruz. Oysa karmaşık sayılarda böylesi bir lüksümüz yok