Logaritma {Çözüldü}

[Abdullah_71]

2^x=x ise x=?

[alpercay]

Boş küme olduğu gözüküyor.Kanıtı olan var mı?

[Lokman Gökçe]

2^x = x denklemini çözmek için y = 2^x eğrisi ile y = x doğrusunun grafikleri çizilir. Kesişimi olmadığından verilen denklemin çözüm kümesi boş kümedir.


bir başka çözüm de şöyle olabilir. f(x) = 2^x - x dersek f(x) = 0 denklemini çözemeliyiz. x<0 iken çözüm olmadığı aşikardır. türev alırsak f'(x) = 2^x.In2 - 1 = 0 eşitliğinden f nin min. noktasının apsisi x = log₂ ( log₂e) = -0,528 dir. Yani x > -0,528 için f(x) artandır. O halde x >0 için f(x) > f(0) olup 2^x - x > 1 dir.  Açık bir şekilde 2^x - x > 0 dır. çözüm kümesi boş küme olur.

[Abdullah_71]

Yalnız bu soru einsteinin sorusuymuş.
Hatalı olması zor gibi...

[alpercay]

Lokman Hocam eline sağlık. 2^x -x  fonksiyonu  x > 0,528 için artan  gerçekten.Çözümün boş küme olması sorunun hatalı olduğu anlamına gelmez.Nümerik analiz bu tür problemlerle uğraşır.Bunun gibi tonlarca problem bulabilirsiniz Nümerik analizde.

[Lokman Gökçe]

Alper Bey'in de belirttiği gibi, çözüm kümesinin boş olması sorun oluşturmaz. çözüm kümesi olan bir başka soru soralım:

e^x = x + 1 denkleminin çözüm kümesi nedir?

(ipucu:  y = x + 1 doğrusunun y = e^x eğrisine teğet olduğunu gösteriniz  )

[ferhat]

SELAM...(ben yeni öğrenciniz ferhat)
her iki tarafın logaritması alınırsa;
x=ln(x+1)===>x=lnx.ln1===>ln1=0 olduğundan x=0 bulunur...bişey var mı kaçıdığım bilemiyorum.(x=0 da birinci denklem sağlar ikinci denklemde sağlamaması bişeyi değiştirir mi acaba.)

[Lokman Gökçe]

Ferhat kardeşim, In(x + 1) = Inx.In1 şeklinde yazılamaz. orada bir hata var. Ama x = 0 denklemin tek çözümüdür bunu doğru bulmuşsun.

Gerçekten e^x = x + 1 de x = 0 yazarsak e⁰ = 1 olduğundan eşitliğin sağlandığını görebiliriz. başka da çözüm yoktur. y = e^x fonksiyonuna,  A (0,1) noktasından çizilen teğet denklemini türev yardımı ile y = x + 1 olarak buluruz. y = e^x ve y = x + 1 in grafikleri A (1,0) da birbirine değer. buna göre tek çözüm x = 0 dır. (grafik çizen bir programla bunu görmek daha güzel olabilir)

[alpercay]

...