20.ulusal (2012) matematik olimpiyatı 1. aşama soruları

[Lokman Gökçe]

20.ulusal (2012) matematik olimpiyatı 1. aşama soruları ve çözümleri buradan verilecektir. bu yıl ben de sınava girerek 2,5 saat boyunca soruları çözdüm. geçen yıla göre kısmen daha kolay olduğundan bu yıl baraj 16 net olur diye düşünüyorum. henüz resmi sorular yayınlanmamış olmakla beraber aklımızda olan bir kaç soruyu yazalım.

Soru (UMO - 2012): n > 2012 olmak üzere 1.2¹ + 2.2² + ... + n.2ⁿ toplamının 10 ile tam bölünebilmesini sağlayan en küçük n tamsayısı nedir?


Soru (UMO - 2012): x³ + y³ = x²yz + xy²z + 2 denklemini sağlayan (x, y, z) tamsayı üçlülerinin sayısı nedir?

[Lokman Gökçe]

2012 nin sonlu matematik sorularından birisini sayılarıyla beraber aynen tutturdum.

Soru (UMO - 2012): A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesi üzerinde tanımlı f: A --> A fonksiyonlarının kaç tanesi her a eleman A için fof(a) = a eşitliğini sağlar?


Cevap: 232 dir. problemi foruma 8 Mart 2012 de göndermiştim.

http://geomania.org/forum/kombinatorik/tersi-kendisine-esit-permutasyon-fonksiyonlarinin-sayisi/

[nafizbasaran]

hocam bir de tübitak ın geçen kişi sayısını arttıracağı konusunda söylentiler var bu konuda birşey biliyor musunuz

[ERhan ERdoğan]

Soru(UMO-2012): yükseklikleri 3,4 ve 6 olan üçgenin çevresi kaçtır ?

Soru(UMO-2012): Bir çemberin AB çapına dik olan CD kirişi çiziliyor. AD ve BC nin orta noktaları sırasıyla M ve N olsun.
AD=2kök3 ve BC=6 ise MN kaçtır?

Soru(UMO-2012): ABC üçgeninin BC ve AC kenarları üzerinden D ve E noktaları alınıyor.AD ile BC nin kesim noktası F olsun.
AF=DC=2BF=2EC ve Alan(ABF)=Alan(DEC) ise Alan(AFC)/Alan(BFC)=?

Soru(UMO-2012): AB=5, BC=6, AC=7 olan ABC üçgeninde A açısına ait iç açıortay BC yi D de kesiyor.A dan geçen ve BC ye D de teğet olan çember AB ve AC yi sırasıyla E ve F de kesiyor. AD ile EF nin kesim noktası T olmak üzere; AT/TD oranı kaçtır ?

Soru(UMO-2012): ABC üçgeninde BC üzerinde alınan bir D noktası için AB=DC=7 ,BD=5 ,AC=13 ve ABD ve ADC üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin yarıçapları sırasıyla r₁ ve r₂ olmak üzere; r₁/r₂ kaçtır?

Soru(UMO-2012): ABC üçgeninin iç bölgesinde alınan bir D noktası için m(BAD)=20^o , m(CAD)=80^o , m(ACD)=20^o , m(BCD)=30^o  ise ABD açısı kaç derecedir?

[alpaslankaynar]

x³-3x+1=0    denkleminin çözümleri a,b,c olsun.   a⁸+b⁸+c⁸=?

[Lokman Gökçe]

hocam bir de tübitak ın geçen kişi sayısını arttıracağı konusunda söylentiler var bu konuda birşey biliyor musunuz

2.aşamaya geçen kişi sayısı 55-60 kadar olacak. yani bir değişiklik yok. Bununla birlikte 56-110 arasında olan ama 2.aşamaya çağrılmayan öğrencilere bu yıl ilk kez Afyon'da kamp düzenlenecek. 2013 1.aşama sınavına hazırlık ve 2.aşamaya hazırlık karışımı bir düzeyde çalışma yapılacak. Bu yıl verim alınırsa sonraki yıllarda da bu uygulamaya devam edilebilir.

aklımda olan bir kaç soruyu daha ekleyeyim:

Soru (UMO - 2012): x⁴ + 8x³ + 18x² + 8x + a = 0 denklemiin dört farklı reel kökü olmasını sağlayan a değerlerinin aralığı nedir?

Soru (UMO - 2012): 100 den küçük kaç tane asal sayı ardışık tam sayıların kareleri toplamı olarak yazılabilir?

Soru (UMO - 2012): x⁴ - 7x³ + 14x² - 14x + 4 = 0 denkleminin reel köklerinin toplam kaçtır?

Soru (UMO - 2012): x³ - 3x + 1 = 0 denkleminin üç farklı kökü a, b, c ise a⁸ + b⁸ + c⁸ kaçtır?

Soru (UMO - 2012): n bir pozitif tam sayı olmak üzere (2n - 1)⁵⁰² + (2n + 1)⁵⁰² + (2n + 3)⁵⁰² ifadesinin 2012 ile bölümünden elde edilebilecek farklı kalanların toplamı kaçtır?

[Beyşehirli]

Soru (UMO - 2012):4mn(m+n-1) = (m²+1)(n²+1) denkleminin kaç farklı (m,n) tamsayı ikilisi çözümü vardır?

Soru (UMO - 2012):{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} kümesinin ardışık 4 eleman içermeyen kaç altkümesi vardır?

Soru (UMO - 2012):n den küçük ve n ile aralarında asal 20 pozitif tamsayı olmasını sağlayan kaç n pozitif tam sayısı vardır?

[Lokman Gökçe]

Tübitak orijinal sınav kitapçığını yayınladı. A kitapçığına göre çözümleri yapalım:

[Lokman Gökçe]

çözüm 1:

[Lokman Gökçe]

çözüm 2:

[Lokman Gökçe]

çözüm 3:

[lazimoluyo]

Çözüm 6:

 n¹² = 1 (mod13)   ve  n¹² = 1 (mod5)  =>  n¹² = 1 (mod65)  olur.
 n²⁹ = 7 (mod65) =>  n⁵ = 7 (mod65)=> n¹⁵ = 18 (mod65)  0 => n³ = 18 (mod65)

n³ = 18 (mod65)
n⁵ = 7 (mod65)   => n⁸ = -4 (mod65) olur.

 n⁸ = -4 (mod65)
n⁵ = 7 (mod65)  => n¹³ =  -28(mod65)
                                        n¹² . n = 37 (mod65) => n = 37 (mod65)

[Lokman Gökçe]

Çözüm 5:

[Lokman Gökçe]

Çözüm 7:

[ERhan ERdoğan]

7. soru için yaptığım çözüm 

x=y=z olsun. O halde, [f(x)]³=12f(x³)-16x³  olur. f(x)=ax olarak alalım.
a³x³=12ax³-16x³
(a³-12a+16)x³=0
(a-2)²(a+4)x³=0
a=2 ve a=-4 için f(x)=2x ve f(x)=-4x fonksiyonları bulunur.