Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2013 Soru 15

[Lokman Gökçe]

$|AB|=3$ ve $|AC|=4$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstündeki bir $D$ noktası için, $ABD$ ve $ACD$ üçgenlerinin ağırlık merkezleri sırasıyla, $G_1$ ve $G_2$ olmak üzere, $|G_1G_2|=2$ ise, $|BC|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{D}$

$AG_1$'in $BC$'yi kestiği nokta $E$, $AG_2$'nin $BC$'yi kestiği nokta $F$ olsun. Ağırlık merkezinin özelliğinden, $\dfrac{|AG_1|}{|G_1E|}=\dfrac{|AG_2|}{|G_2F|}=2$, dolayısıyla $G_1G_2//EF$'dir. Aynı zamanda $AG_1G_2$ ve $AEF$ üçgenlerinin benzerliğinden, $\dfrac{|AG_1|}{|AE|}=\dfrac{|G_1G_2|}{|EF|} \Longrightarrow |EF|=3$ bulunur. $AE$ ve $AF$ kenarortay olduğundan $|BC|=2|EF| \Longrightarrow |BC|=6$'dır.