(Burak VARICI)
Cevap: Tek çözüm $n=4$ tür.
Öncelikle, $n=1$ için $2^{3} +2^{1} +1=11$ ve $n=2$ için $2^{5} +2^{2} +1=37$ olduğundan, $n\ge 3$ varsayabiliriz.
$2^{2n+1} +2^{n} +1=x^{k} $, $p$ de $k$ nın en küçük asal böleni olsun. $x^{\frac{k}{p} } =m$ dersek, $2^{2n+1} +2^{n} +1=(x^{\frac{k}{p} } )^{p} =m^{p} $ olur. $p$ üzerinden iki durum vardır:
- $p=2$. Dolayısıyla $8.2^{2n-2} +2^{n} +1=m^{2} $ olduğundan $7\cdot 2^{2n-2} =m^{2} -(2^{n-1}+1)^{2} =(m-2^{n-1} -1)\cdot(m+2^{n-1} +1)$ bulunur.
$n\ge 2$ için $7\cdot 2^{2n-2} $ ifadesi çifttir. Dolayısıyla $m$ tektir, $m=2m_{1} +1{\rm \; }(m_{1} \in {\mathbb N})$ olsun. $7\cdot 2^{2n-4} =(m_{1} -2^{n-2} ).(m_{1} +2^{n-2} +1)$ elde edilir. İki durum vardır:
- $m_{1} $ çifttir. Bu durumda $(m_{1} -2^{n-2} ).(m_{1} +2^{n-2} +1)$ ifadesinde çarpanlardan biri tek biri çift olduğundan, $m_{1} +2^{n-2} +1\in \left\{1,7\right\}$ sağlanır. $m_{1} +2^{n-2} +1>1$ olduğundan, $m_{1} -2^{n-2} =2^{n-4} $, $m_{1} +2^{n-2} =6$ olmalıdır. Ancak bu durumda iki ifadeyi toplarsak:
$2m_{1} =2^{2n-4} +6{\rm \; }\Rightarrow {\rm \; }m_{1} =2^{2n-5} +3$ bulunur. Fakat $m_{1} $ çift demiştik, çelişki! Bu durumda çözüm yoktur.
- $m_{1} $ tektir. $(m_{1} -2^{n-2} )$ tek çarpanı $1$ e veya $7$ ye eşit olmak üzere iki durum vardır.
$m_{1} -2^{n-2} =1$ durumunda $m_{1} +2^{n-2} =7\cdot 2^{2n-4} -1$ olur. İki ifadeyi toplarsak:
$2m_{1} =7\cdot 2^{2n-4} \Rightarrow m_{1} =7\cdot 2^{2n-5} $. Fakat $m_{1} $ tek demiştik, çelişki! Bu durumda da çözüm yoktur.
$m_{1} -2^{n-2} =7$ ise $m_{1} +2^{n-2} =2^{2n-4} -1$ olur. İki ifadeyi toplarsak: $2m_{1} =2^{2n-4} +6\Rightarrow m_{1} =2^{2n-5} +3$. Diğer taraftan, $m_{1} -2^{n-2} =7{\rm \; }\Rightarrow {\rm \; }2^{2n-5} -2^{n-2} =4$ bulunur.
Dolayısıyla $2^{2n-7} -2^{n-4} =1$. Buradan $n=4$ çözümü gelir. Gerçekten de, $2^{9} +2^{4} +1=529$ bir tam kuvvettir.
- $p>2$ ise, $2^{2n+1} +2^{n} +1=m^{p} {\rm \; }\Rightarrow {\rm \; }2^{n} (2^{n+1} +1)=(m-1).\sum\limits _{i=0}^{p-1}m^{i}$.
$m$ tek olduğundan $\sum\limits _{i=0}^{p-1}m^{i} \equiv \sum\limits _{i=0}^{p-1}1^{i} \equiv p\equiv 1 \pmod 2$ bulunur. Dolayısıyla $2^{n} |m-1$, $m=2^{n}\cdot s+1{\rm \; }(s\in {\mathbb Z}^{+} )$ sağlanır.
$\Rightarrow {\rm \; }2^{n+1} +1=s\cdot \sum\limits _{i=0}^{p-1}(2^{n} s+1 )^{i} \ge \sum\limits _{i=0}^{2}(2^{n} +1)^{i} >2^{2n} +1 \Rightarrow {\rm \; }2^{n+1} >2^{2n} ,{\rm \; }1>2^{n-1} $ bulunur ki bu hiçbir $n\in {\mathbb N}$ için mümkün değildir. Demek ki bu durumda çözüm yoktur.
Sonuç olarak, $2^{2n+1} +2^{n} +1$ ifadesini tam kuvvet yapan tek pozitif tamsayı $n=4$ dür. $\blacksquare $
