Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 19

[geo]

$2 \times 5$ lik bir satranç tahtasının üst sırasında sol köşeden itibaren ardışık $k$ kareye siyah pullar konmuştur. Boş olan karelere istediğimiz sırayla beyaz pullar koyuyoruz. En az bir ortak köşeye sahip iki kare komşu sayılmak üzere, her beyaz pul konduğunda, komşu karelere daha önceden konmuş olan pılların rengi, beyazsa siyaha, siyahsa beyaza dönüşüyor. $k$ nin aşağıdaki değerlerinden hangisi için tüm kareler dolduğunda pulların hepsi beyaz olabilir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

$k > 1$ olduğu durumda $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
S & S &\; \; &\; \; & \; \;  \\ \hline
  &  &  &  &  \\ \hline
\end{array} $$ İlk karedeki siyah taşın etrafında $2$ boşluk olduğu için nihayetinde ($S \rightarrow B \rightarrow S$) siyaha dönüşecek. Bu durumda $k=1$ olabilir, $k=0$ olabilir, ya da hiçbir $k$ değeri için bu şekilde bir yerleştirme yapılamaz.
$k=1$ için, ilk taş siyah olacak.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
\bf{S} &\; \; &\; \; &\; \; & \; \; \\ \hline
  &  &  &  &  \\ \hline
\end{array} $ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
B & \bf{B} & \; \; &\; \; & \; \;  \\ \hline
  &  &  &  &  \\ \hline
\end{array} $ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
B & S  & \bf{B} & \;\; & \;\; \\ \hline
  &  &  &  &  \\ \hline
\end{array} $

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
B & S  & S & \bf{B} & \;\; \\ \hline
  &  &  &  &  \\ \hline
\end{array} $ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
B & S  & S & S & \bf{B} \\ \hline
  &  &  &  &  \\ \hline
\end{array} $

Dikkat edilirse baştaki ve sondaki karenin $2$ komşusu, diğerlerinin $3$ komşusu var. $2$ komşusu olan beyaz taşlar ($B\rightarrow S \rightarrow B$) beyaza, $3$ komşusu olan siyah taşlar ($S\rightarrow B \rightarrow S \rightarrow B$) beyaza dönüşecek. Yani ikinci satırdaki taşlar hangi sırada konursa konsun, ilk sıradaki taşların tamamı beyaza dönüşecek. Bu durumda, ikinci sıradaki taşları beyaz taşları öyle yerleştirmeliyiz ki, hepsi beyaz olsun. Biraz düşününce (aslında birden çok bu şekilde diziliş var), ortadaki karenin $3$ komşusu, baştaki ve sondaki karenin $1$ komşusu, diğerlerinin (yani baştan ve sondan ikinci karelerin) $2$ komşusu var. Beyaz taşın beyaza dönüşmesi için, değişime uğramaması, yani etrafına kendisinden sonra taş konmaması ya da çift sayıda taş konması gerekiyor. Önce $2$ ve $4$ nolu karelere, sonra $1$ ve $5$ nolu karelere, en son da $3$ nolu kareye taşı yerleştirdiğimizde tüm taşlar beyaz olur.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
S & B  & B & S & B \\ \hline
  & \bf{B}  &  &  & \\ \hline
\end{array} $ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
S & B  & S & B & S \\ \hline
  & B  &  & \bf{B} & \\ \hline
\end{array} $ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
B & S  & S & B & S \\ \hline
\bf{B}  & S  &  & B & \\ \hline
\end{array} $

 $\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
B & S  & S & S & B \\ \hline
B  & S  &  & S & \bf{B} \\ \hline
\end{array} $ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
B & B  & B & B & B \\ \hline
B  & B  & \bf{B} & B & B \\ \hline
\end{array} $

Not:
Mustafa Töngemen'e ait 2008 yılı basımlı Tübitak Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri kitabında cevap $(E)$ olarak verilmiştir. Oradaki çözüm hatalıdır.