Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 18

[Lokman Gökçe]

$(n-1)^3(n+1)^4$ ifadesinin $2^{19}$ ile tam bölünebilmesini sağlayan $2014$ ten küçük kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 72
\qquad\textbf{b)}\ 175
\qquad\textbf{c)}\ 188
\qquad\textbf{d)}\ 212
\qquad\textbf{e)}\ 216
$

[Egemen]

Cevap:$\boxed C$

$n$ çift sayı ise   $  2^{19}$a bölünemeyeceği aşikardır.

 $n=2k+1$$  \Rightarrow (n−1)^3(n+1)^4=(2k)^3(2(k+1))^4=2^7k^3(k+1)^4 $
 
Durum1 :  $k=2^l.m$ $\Rightarrow k^3$'den $3l$ tane $(k+1)^4$'den $0$ tane $2$ çarpanı gelir.
$3l \ge 12$,  $l\ge 4$, $ k=16m $, $n=32m+1<2014$,  $32m<2013$, $62$ tane $m$ değeri vardır.

Durum2 : $k=2^l.m-1\Rightarrow   k^3$'den $0$ tane $(k+1)^4$'den $4l$ tane $2$ çarpanı gelir.
$4l \ge 12$,  $l\ge 3$, $ k=8m-1 $, $n=16m-1<2014$,  $16m<2015$, $125$ tane $m$ değeri vardır.

62+125=187, $n=1 \Rightarrow (n−1)^3(n+1)^4=0$ durumunu da saymamız gerekmektedir. 187+1=188