Eşitsizlik 197

[ArtOfMathSolving]

$a,b,c\in \mathbb{R^{+}}, a+b+c=3$ için,

$\dfrac{a^3}{ac+1}+\dfrac{b^3}{ab+1}+\dfrac{c^3}{bc+1}\ge \dfrac{3}{2}$

olduğunu gösteriniz.

(ArtOfMathSolving)

[Eray]

$(a,b,c)=(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$ için ifade $\dfrac{3}{10}$ a eşit oluyor.

[ArtOfMathSolving]

$a+b+c=3$ yazmayı unutmuşum. Sanırım o zaman eşitsizlik sağlanıyor.

[Eray]

İfadeye $S$ diyelim. Cauchy-Schwarz Eşitsizliği'nden,

$(1+1+1)(ac+1 + ab+1+bc+1)(S)\ge(a+b+c)^3=27\Longrightarrow S\ge\dfrac{27}{3(ab+ac+bc+3)}=\dfrac{9}{ab+ac+bc+3}$

Ayrıca $(a+b+c)^2\ge3(ab+ac+bc)\Longrightarrow3\ge ab+ac+bc$ olduğundan, $S\ge\dfrac{9}{ab+ac+bc+3}\ge\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{3}{2}$ $\blacksquare$