eşkenar üçgen sorusu {çözüldü}

[hope]

cevap 15 olacak çözümü bulamadım

[geo]

Programla kontrol ettim. 15 çıkıyor.
Bu soruyu şurada hatalı diye adlandırmışız. Aslında hata, yanlış açının değerini sormasıymış.
"AP/PD = 2 çıkıyor, belki o sorulabilir." diye not düşmüşüm. Az biraz baktım, bu bilgiyle 15 bulunabiliyor.
AE/ED=2 olduğunu gösterirsem, çözüm gönderirim.

[geo]

Şartlandığım için bu şekilde bir çözüm yapmış olabilirim. Daha kolay bir çözümü olabilir.

Çözüm:
ECB = 60 - ECA olduğu için BEC = 120.
AD üzerindeki G, ağırlık merkezi de BC yi 120'lik açıyla görür.
Bu durumda B,G,E,C noktaları aynı çember üzerindedir. Bu çemberi çizelim.
GF bu çemberin çapı olsun.
ABD üçgeninde BG iç açıortay, BF dış açıortaydır.
O halde GF çaplı çember, ABD açısı için bir Apolonyus çemberidir (A ve D noktalarına olan uzaklıkları oranı sabit olan noktalar kümesi).
E noktası da geometrik yer üzerinde bir nokta olduğu için,
AE/ED = AB/BD=AG/GD=2. Yani ADE üçgeninde GE bir iç açıortay çıkar.
Bu durumda AED = 90 olduğu için, GED = 45 ve GEB=GCB=30 olduğu için de BED=15 elde edilir.


Not: AD çaplı çemberin ve BGC üçgeninin çevrel çemberinin merkezleri kolay hesaplanabilir olduğundan koordinat sistemi ile de çözüme gidebiliriz diye tahmin ediyorum.

[geo]

Çözüm 2:
ECB=60-ECA, ECA = EBC olduğu için BEC = 120.
E noktaları, BC yayı 240⁰ olan bir çember üzerindedir.
G: Ağırlık Merkezi olmak üzere; BGC = 120 = BEC olduğu için.
B,G,E,C aynı çember üzerindedir.

AED = 90 olduğu için,
E noktası AD çaplı çember üzerindedir. Bu çemberin merkezi M olsun.

Bu iki çemberi kesiştirirsek, E noktasını bulabiliriz.

AD=6 alalım.
BGC üçgenin çemberinin çapı GF olsun.
D noktasının çembere göre kuvvetinden DF=6 çıkar. Bu çemberin merkezi N olsun.

Koordinat düzleminde D'yi orijin olarak alırsak,
M merkezli çemberin denklemi
x²+(y-3)² = 9

N merkezli çemberin denklemi
x²+(y+2)² = 16

çıkar. Taraf tarafa çıkarırsak,
(y+2)²-(y-3²) = 7
5(2y-1) = 7  => 10y - 5 = 7  => 10y = 12
y = 6/5 çıkar.
İlk denklemde yerine yazarsak,
x² + (6/5 - 3)²=9
x² = 3² - (9/5)² = (3-9/5)(3+9/5) = (6x24)/(5x5)
x = 12/5 çıkar.
Bu durumda EDC açısının tanjantı 1/2 olarak bulunmuş oldu.
EDC = 90 - ADE = DAE olduğu için DE/AE=1/2.
Aynı zamanda GD/AG = 1/2 olduğu için, AED üçgeninde EG açıortaydır.
GED = 45, GEB=GCB=30 olduğu için BED = 15 olarak bulunur.

[sgmx]

Çözüm 3:

[ERhan ERdoğan]

Problem:
$ABC$ eşkenar üçgeninin $[BC]$ kenarının orta noktası $D$ olsun.
üçgenin iç bölgesinde alınan bir $E$ noktası için, $\angle{AED}=90^\circ$  ve $\angle{BEC}=120^\circ$ oluyorsa, $\angle{BED}$=?

Çözüm : 

$\angle{EBC}=\angle{ECA}$  olduğundan $BEC$ üçgeninin çevrel çemberi $B$ ve $C$ noktalarında $AB$ ve $AC$ ye teğettir.

$ABO$ dik üçgeninde öklit bağıntısından $|AB|^2 = |AD|\cdot|AO|$  ve

$A$ noktasının çembere göre kuvvetinden, $|AC|^2 = |AE|\cdot|AT|$  yazılabilir.

$|AB| = |AC|$ olduğundan, $|AD|\cdot|AO| = |AE|\cdot|AT|$ olup bu eşitlikten ötürü $EDOT$ bir kirişler dörtgenidir.

Bu dörtgene göre, $\angle{DET}+\angle{DOT}=180^\circ  \Rightarrow  \angle{DOT}=90^\circ$ dir.

Buna göre, $\angle{BOR}=30^\circ$ olup $\angle{BER}=\dfrac{\angle{BOR}}{2} = 15^\circ$  dir.

[gmuratyalcin]

bu sorunun kaynağı