Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Fantezi Cebir => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2015, 01:21:18 öö
-
...
-
6.
$T = a^3+b^3+c^3+d^3 = a^3+\dfrac{b^3}{2}+\dfrac{b^3}{2}+\dfrac{c^3}{2}+\dfrac{c^3}{2}+d^3$
$T_{1} = a^3+\dfrac{b^3}{2}+\dfrac{c^3}{2}$ ve $T_{2} =\dfrac{b^3}{2}+\dfrac{c^3}{2}+d^3$ diyelim.
AGO eşitsizliğinden,
$T_{1} \geq \dfrac{3abc}{\sqrt[3]{4}}$ ve $T_{2} \geq \dfrac{3bcd}{\sqrt[3]{4}}$ dir.
$T = T_{1}+T_{2} \geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{4}}(abc+bcd)$
$S = \dfrac{abc+bcd}{a^3+b^3+c^3+d^3} \leq \dfrac{\sqrt[3]{4}}{3}$ bulunur.
-
5.
Sayılar $\sqrt{\dfrac{x}{12}}+\sqrt{\dfrac{108}{x}}$ formundadır.
A.G.O eşitsizliğinden,
$\sqrt{\dfrac{x}{12}}+\sqrt{\dfrac{108}{x}} \ge 2\sqrt{\sqrt{\dfrac{108}{12}}}=2\sqrt{3}$
Yani sayılardan en küçüğü $2\sqrt3$ tür.
Eşitlik durumu $\Longrightarrow \dfrac{x}{12}=\dfrac{108}{x} \Longrightarrow x=36$ için sağlanır, ve bu da sayılarımıza dahildir. Dolayısıyla cevap $2\sqrt3$ tür.
-
5.
Sayılar $\sqrt{\dfrac{x}{12}}+\sqrt{\dfrac{108}{x}}$ formundadır.
A.G.O eşitsizliğinden,
$\sqrt{\dfrac{x}{12}}+\sqrt{\dfrac{108}{x}} \ge 2\sqrt{\sqrt{\dfrac{108}{12}}}=2\sqrt{6}$
Yani sayılardan en küçüğü $2\sqrt6$ dır.
Eşitlik durumu $\Longrightarrow \dfrac{x}{12}=\dfrac{108}{x} \Longrightarrow x=36$ için sağlanır, ve bu da sayılarımıza dahildir. Dolayısıyla cevap $2\sqrt6$ dır.
Sanırım işlem hatası yapmışsınız. Cevap: $2\sqrt3$ olacak.
-
17.
Açıortay teoreminden $|AP|=3x$ ise $|AB|=2x+2$ olur. $AO$ nun çemberi kestiği nokta $K$ olsun. $\angle PAO=\alpha$ dersek kirişler dörtgeninden $\angle CBK=\alpha$ olur. Çapı gördüğü için $\angle ABK=90^\circ$ dir. Dolayısıyla $\angle ABD=\angle APO$ olur. Bu da $\triangle ABD \cong \triangle APD$ demektir. O zaman $|AB|=|AP|$ olur. $2x+2=3x$ ve $x=2$ den $|AP|=6$ bulunur.
-
21.
$\angle BAH=15^\circ$ ve $\angle HAE=35^\circ$ dir. $ABDC$ kirişler dörtgeni olduğu için $\angle ABC=\angle ADC=75^\circ$ olur. $HDCE$ kirişler dörtgeni olduğundan $\angle HDC=\angle HEA=75^\circ$ olur. $\triangle HEA$ da $\angle AHE=180-35-75=70^\circ$ bulunur.
-
1.
Sorudaki ilk denklemi düzenlersek $x^{x+y}=y^{x-y}$ bulunur. İkinci eşitlik yerine yazılırsa $x^{x+\tfrac{1}{x^2}}=(\dfrac{1}{x^2})^{x-\tfrac{1}{x^2}}$ bulunur. Düzenlersek $x^{3x-\tfrac{1}{x^2}}=1$ olur. Burada iki durum vardır. $x=1$ için $y=1$ çözümü gelir. $3x-\tfrac{1}{x^2}=0$ için $x=\sqrt[3]{\dfrac{1}{3}}$ ve $y=\sqrt[3]{9}$ çözümü gelir. Yani toplam $2$ çözüm vardır.
-
7.
$n=1$ için $a_1=2$
$n=2$ için $a_2=\dfrac{6}{5}$
İddaamız $a_n=1+\dfrac{1}{5^{n-1}}$ olduğudur.. Bunu tümevarım ile gösterelim. $n=1$ için doğrudur. $n$ için doğru olsun.
O zaman $5a_{n+1}=1+\dfrac{1}{5^{n-1}}+4$ ve $a_{n+1}=1+\dfrac{1}{5^n}$ dir. Yani iddaamız doğruymuş.
Soruda tanımladığı $A_n=a_1+a_2+ \cdots +a_n= 1+\dfrac{1}{5^0}+1+\dfrac{1}{5^1}+\cdots+1+\dfrac{1}{5^{n-1}}=n+1+\dfrac{1-\dfrac{1}{5^n}}{1-\dfrac{1}{5}}=n+1+\dfrac{5^n-1}{4\cdot5^{n-1}}$ olur.
$A_n-n-\dfrac{5}{4}=n+1+\dfrac{5^n-1}{4\cdot5^{n-1}}-n-\dfrac{5}{4}=\dfrac{5^n-1}{4\cdot5^{n-1}}-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4\cdot5^{n-1}}$ olur.
Mutlak değerden çıkarırsak $\dfrac{1}{4\cdot5^{n-1}} \lt \dfrac{1}{2500}$ eşitsizliğini sadeleştirirsek $5^{4} \lt 5^{n-1}$ ve $5\lt n$ bulunur. Dolayısıyla $n$ nin alabileceği en küçük değer $6$ dır.
-
2.
Terimler $\dbinom {1515}{a}\cdot3^{\tfrac{1515-a}{3}}\cdot5^{\tfrac{a}{5}}$ formundadır. Terimlerin rasyonel olması için $3$ ve $5$ in $a$ yı bölmesi gerekmektedir. $0$ dan $1515$ e kadar $15$ e bölünen $102$ sayı vardır.
-
3.
$(a+b+c+d)^n$ deki terim sayısı dağılım formülünden $\dbinom {n+4-1}{4-1}=\dbinom {n+3}{3}$ şeklindedir. Ayrıca $\dbinom {n}{a}=\dbinom{n+1}{a+1}-\dbinom {n}{a+1}$
olduğunu biliyoruz. O zaman $f(2n)-f(2n-1)=\dbinom {2n+3}{3}-\dbinom {2n+2}{3}=\dbinom{2n+2}{2}$ dir. Bizden istenen ifade
$\dbinom {4}{2}\cdot \dbinom{6}{2}\cdots \dbinom{102}{2}=\dfrac{102\cdot101\cdots 4\cdot3}{2^{50}}=\dfrac{102\cdot101\cdots 4\cdot3\cdot2}{2^{51}}=\dfrac{102!}{2^{51}}$ dir. $102!$ in içinde $98$ tane $2$ çarpanı vardır. Dolayısıyla
cevap $98-51=47$ olarak bulunur.
-
19.
$a \triangle (b \triangle b)=a \triangle 0=a \triangle b +b$ tür.
$a \triangle (a \triangle a)= a \triangle 0 = a \triangle a + a=a$ dır.
İki denklemi birleştirirsek $a \triangle b =a-b$ çıkar. Cevap $(31 \triangle 13) \triangle 7=18 \triangle 7=11$ olarak bulunur.
-
8.
Dikdörtgeni $6\times 8$ lik dikdörtgene ve sağda bir sütun ve aşağıda bir satır olacak şekilde ayıralım. $6\times 8$ lik dikdörtgeni nasıl doldurursak dolduralım sağdaki sütun ve aşağıdaki satırın dizilimi tek şekilde olur. Mesela $6\times 8$ lik dikdörtgenin ilk satırı $7,9,7,9,9,9,9,7$ olsun. Sağda kalan sütunun o satırla kesiştiği karedeki sayı $7$ olmak zorundadır. Yani cevap $2^{48}$ olur. Bu sayının da pozitif bölenlerinin sayısı $49$ dur.
-
24.
Her $x$ için $x^2+ax+10b\ge0$ olması, denklemin diskriminantının $0$ dan küçük eşit olduğunu gösterir.
$\Longrightarrow 0\ge a^2-40b \Longrightarrow b\ge\dfrac{a^2}{40}$
$\Longrightarrow \dfrac{b+11}{a-1} \ge \dfrac{\dfrac{a^2}{40}+11}{a-1} = \dfrac{a^2+440}{40(a-1)} = \dfrac{1}{40}\cdot \dfrac{a^2+440}{a-1} = \dfrac{1}{40} \left(a-1 + \dfrac{441}{a-1}+2\right)$
Soruda $a>1$ verildiğinden A.G.O Eşitsizliği gereği, $a-1 + \dfrac{441}{a-1} \ge 42$ dir.
O halde $\dfrac{b+11}{a-1} \ge \dfrac{1}{40} \left(a-1 + \dfrac{441}{a-1}+2\right) \ge \dfrac{1}{40}(42+2) = \dfrac{11}{10}$ bulunur.
Eşitlik durumu $a-1 = \dfrac{441}{a-1} \Longrightarrow a=21, b=\dfrac{a^2}{40}=\dfrac{441}{40}$ iken sağlanır.
-
18.
$n$ metrelik kuyudan kaymadan çıkma sayısı $a_n$ olsun. Eğer $n-1$ metreye çıkarsa geri kalan metreyi tek şekilde çıkar. Yani $a_{n-1}$ durum. Ve eğer $n-2$ metreye çıkarsa geri kalan iki metreyi de 2 zıplayarak tek şekilde çıkar. Çünkü 1 metre 1 metre zıplaması bir önceki durum oluyor. Yani $a_{n-2}$ durum. Buradan $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ elde edilir.
$a_1=1 \ , \ a_2=2 \ , \ a_3=3 \ , \ a_4=5 \ , \ a_5=8 \ , \ a_6=13 \ , \ a_7=21 \ , \ a_8=34 \ , \ a_9=55 \ , \ a_{10}=89$
Şimdi kurbağanın kayma durumlarını sayalım. Eğer birinci metreden sonra kayarsa $a_1 \cdot a_{10}$
İkinci metreden sonra kayarsa $a_2 \cdot a_9$
Üçüncü metreden sonra kayarsa $a_3 \cdot a_8$
Yani cevabımız $a_1 \cdot a_{10}+a_2 \cdot a_9+a_3 \cdot a_8+a_4 \cdot a_7+a_5 \cdot a_6+a_6 \cdot a_5+a_7 \cdot a_4+a_8 \cdot a_2+a_9 \cdot a_1+a_{10} \cdot a_1=1020$ bulunur.
-
20.
$f(1-k)$ yı düzenleyerek yazalım.
$f(1-k)=(1-k)^2\cdot (1-k)^4+(1-k^2)\cdot (1-k)^4+(2k+1)\cdot (1-k)^4+(3k+1)\cdot(1-k)^3+(4k+1)\cdot(1-k)^2+(5k+1)\cdot (1-k)+6k+14$
$f(1-k)=(1-2k+k^2+1-k^2+2k+1)\cdot (1-k)^4+(3k+1)\cdot(1-k)^3+(4k+1)\cdot(1-k)^2+(5k+1)\cdot (1-k)+6k+14$
$f(1-k)=3\cdot(1-k)^4+(3k+1)\cdot(1-k)^3+(4k+1)\cdot(1-k)^2+(5k+1)\cdot (1-k)+6k+14$
Yine düzenleyelim.
$f(1-k)=3\cdot(1-k)^2\cdot(1-k)^2+(3k+1)\cdot(1-k)\cdot(1-k)^2+(4k+1)\cdot(1-k)^2+(5k+1)\cdot (1-k)+6k+14$
$f(1-k)=(3-6k+3k^2+3k-3k^2+1-k+4k+1)\cdot(1-k)^2+(5k+1)\cdot (1-k)+6k+14$
$f(1-k)=5\cdot(1-k)^2+(5k+1)\cdot (1-k)+6k+14$
$f(1-k)=5-10k+5k^2+5k-k^2+1-k+6k+14$
$f(1-k)=20$
Yani $44-2k=20$ den $k=2$ dir. O zaman
$f(x)=x^6+3x^5+5x^4+7x^3+9x^2+11x+26$
$f(1)=62$ bulunur.
-
25.
Cauchy Schwarz eşitsizliğinden
$(\dfrac{|BC|}{x}+\dfrac{|AC|}{y}+\dfrac{|AB|}{z})\cdot(|BC|\cdot x+|AC|\cdot y+|AB|\cdot z) \ge (|BC|+|AC|+|AB|)^2$ dir.
$|BC|\cdot x+|AC|\cdot y+|AB|\cdot z$ ifadesi üçgenin alanının iki katına eşittir. Yani sabittir. Ayrıca $(|BC|+|AC|+|AB|)^2$ ifadesi de üçgenin çevresinin karesine eşittir. Yani o da sabittir. O zaman $\dfrac{|BC|}{x}+\dfrac{|AC|}{y}+\dfrac{|AB|}{z}$ ifadesinin minimum olması için eşitlik durumu olmalıdır. Bu eşitsizliğin eşitlik durumu da $\dfrac{\dfrac{|BC|}{x}}{|BC|\cdot x}=\dfrac{\dfrac{|AC|}{y}}{|AC|\cdot y}=\dfrac{\dfrac{|AB|}{z}}{|AB|\cdot z}$ olduğu zaman yani $\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{1}{z^2}$ olduğunda olur. Bu da $x=y=z$ demektir yani $P$ üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.
-
11.
A nın sayılarına göre durumlara ayıralım.
$0$ tane A varsa $\Rightarrow \dbinom {9}{0}\cdot2^9=512$
$2$ tane A varsa $\Rightarrow \dbinom {9}{2}\cdot2^7=4608$
$4$ tane A varsa $\Rightarrow \dbinom {9}{4}\cdot2^5=4032$
$6$ tane A varsa $\Rightarrow \dbinom {9}{6}\cdot2^3=672$
$8$ tane A varsa $\Rightarrow \dbinom {9}{8}\cdot2^1=18$
Cevap : $512+4608+4032+672+18=9842$ bulunur.
-
4.
$B$ köşesine $(0,0)$ noktası diyelim. Ve üçgeni karmaşık sayılar düzlemine yerleştirelim. $A$ köşesi $(a+15i)$ ve $C$ köşesi de $(b+3i)$ olsun.
Teorem: $\angle ABC=\alpha$ ve $A=(a+ci)$ ve $C=(b+di)$ ise $(a+ci)\cdot (\cos \alpha+i\cdot \sin \alpha)=(b+di)$ dir.
O zaman $(a+15i)(\cos 60+i\cdot \sin 60)=(b+3i)$
$(a+15i)(\dfrac{1}{2}+i\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2})=(b+3i)$
$\dfrac{a-15\sqrt{3}}{2}+i\cdot \dfrac{15+a\sqrt{3}}{2}=b+3i$
$\dfrac{a-15\sqrt{3}}{2}=b$ ve $ \dfrac{15+a\sqrt{3}}{2}=3$
$a=-3\sqrt{3}$ ve $b=-9\sqrt{3}$ olur. Bir karmaşık sayının ($a+bi$) orjine olan uzaklığı $\sqrt{a^2+b^2}$ olduğu için $A$ köşesinin $B$ köşesine uzaklığı $\sqrt{(-3\sqrt{3})^2+15^2}=\sqrt{252}$ bulunur. Yani eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğunu bulduk. Bu üçgenin alanı ise $\dfrac{252\sqrt{3}}{4}={63\sqrt{3}}$ bulunur.
-
4. Soru AC uzatılıp benzerlik, dik üçgen ve Cos teo.den de olur.
-
x in rasyonel olması durumunda hem c hemde d irrasyonel olacaktır.oysa sadece bir sayı irrasyoneldir.
o halde x irrasyonel olmak zorundadır.buna göre;
a+b=4x/3-1/x+1/x-x/3=x
Bundan dolayı,a ve b den en az biri irrasyoneldir.O halde,c ve d rasyoneldir.
c=x-√(3 ) ∈Q olur.x=c+√3 dir.d=(c+√3)^2-3√3∈Q
d=c^2+2c√3+3-3√3 ∈Q ise 2c=-3 olur.
d=(-3/2)^2+3=21/4
-
10. Cevap $\boxed{B}$
$-1,1,2,3$ sayılarından sırasıyla $a,b,c,c$ tane bulunsun. $-a+b+5c=5$ ve $a+b+97c=995$ dir. $T=x_1^5 +x_2^5 + \dots +x_n^5$ olsun. $T=275c$ olduğundan $c$ nin değerini minimum seçtiğimizde $T$ ifadesi de minimum olur. Yani $c=1$ için $T_\min =275$ elde edilir. Bu halde $a=b$ ve $a+b=898$ dir. $n=a+b+c+c = 449 +449 + 1 + 1 = 900$ bulunur.
-
13.
$\dfrac{1}{n+1}<(\sqrt5 - 2)^4 < \dfrac{1}{n}$ eşitsizliğini $n<(\sqrt5 + 2)^4 < n+1$ biçiminde ifade edelim. $a,b$ pozitif tamsayılar olmak üzere $(\sqrt5 + 2)^4 = a + b\sqrt5$ biçimindedir.
Dolayısıyla $ (\sqrt5 - 2)^4 = a - b\sqrt5$ olur. Üstelik $ 0< \sqrt5 - 2<1$ olduğundan $ 0< (\sqrt5 - 2)^4<1$ dir. Böylece
$ (\sqrt5 + 2)^4 + (\sqrt5 - 2)^4 = 2a $ ve $ 2a-1 < (\sqrt5 + 2)^4 < 2a $ olur.
$ (\sqrt5 + 2)^4 + (\sqrt5 - 2)^4 = 2\cdot (5^2 + 6\cdot 5\cdot 2^2 + 2^4) = 322$ elde edilir. $n=321$ bulunur.
-
15.
a$\leq$b$\leq$c olsun.a=$\frac{5-bc}{b+c-bc}$dir.a pozitif tamsayı olduğundan 5$\geq$b+c olmalıdır.a=1 için b+c=5.......(a,b,c)=(1,1,4)$\mapsto$3 tane , (a,b,c)=(1,2,3)$\mapsto$3!=6 tane. a,b ve c den ikisi tek sayı olmak zorundadır.a=2 olduğunda b ve c tek sayı olduğundan b+c toplamı 5 i geçeceğinden çözüm bitmiştir.Toplam 3+6=9 tane çözüm üçlüsü vardır.
-
16.
($\sqrt{3}+\sqrt{2}$)3=$9\sqrt{3}+11\sqrt{2}$
P(x)=(-1/2)x3+(11/2)x+1 polinomu aranan polinomdur.Buradan P(3)=4 bulunur.
-
14.
$ G $ Merkez ve $ |GC|=r $ olmak üzere $|CE|=x $ ve $|CF|=y $ olsun.$ r^2=xy $ ve Pisagor dan $ x^2+y^2=4r^2 $elde edilir.Buradan $ x^2-4xy+y^2=0 $ denklemi elde edilir.Denklemden $ x=y(2\mp\sqrt{3}) $ olur.Bu da bilindiği üzere $ 15^\circ,75^\circ,90^\circ $ üçgenidir.Yani en küçük açı $ 15^\circ $ dir.