$[ED] \cap [AC] = Y$ ve $[DF] \cap [BC]=X$ olsun. $|YD|= x$ $|DX|=y$ $|XB|=t$ $|AY|=z$ olsun. Yansımadan dolayı $|EY|=|YD|=x$ ve $|DX|= |XF|=y$ olur. $\angle YDA = \alpha$ ve $\angle CAB= \beta$ olsun. $\angle CDF = \alpha$ ve $\angle CDE= \beta$ olur. $ADY$, $DXB$ ve $CDX$ üçgenlerinde $\tan(\alpha)$ değerlerini birbirine eşitlersek $$ \dfrac{z}{x}=\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{t}$$ elde edilir. Yansımalar nedeniyle $\angle CFD = \alpha$ ve $\angle DEC= \beta$ olur. Buradan $\angle ECD + \angle FCD = 360 -2 . (\alpha +\beta) =180$ bulunur. Bu ise bize $E,C,F$ noktalarının doğrusal olduğunu verir. Diğer taraftan yansımadan dolayı $ |EC| =|CD| =|CF| $ olduğunu söyleyebiliriz ve bunların her biri $m$ birim olsun. $EYC$ üçgeninde pisagor teoreminden $$x^2+y^2=m^2$$ olduğu elde edilir. Çevre açı- merkez açı bağıntısı yardımıyla $2\angle CAF = \angle CO_1F = 2\phi$ ve $2\angle ECB = \angle EO_2C = 2\theta$ olsun. $E$ noktasından $BC$ doğrusuna dikme çizelim ve $E \cap BC =G$ olsun. Benzer şekilde $F$ noktasından $AC$ ye dikme çizelim ve kesiştikleri nokta $H$ olsun. $GBE$ ve $HFA$ üçgenlerinden yardım alarak $\cot\phi$ ve $\cot\theta$ değerlerini bulabiliriz. $$\cot\theta=\dfrac{2x+t}{y}$$ ve $$\cot\phi = \dfrac{2y+z}{x}$$ olur. $O_2EC$ üçgenin $O_2$ noktasından , $O_1CF$ üçgeninde ise $O_1$ noktasından yükseklik inersek tabanı ikizkenar üçgen olduğu için iki eş parçaya böler. $O_1$ den inen yüksekliği $Q$, $O_2$ den inen yüksekliğin ayağı $R$ olsun.
$\dfrac{|O_2Q|}{\frac{m}{2}} = \dfrac{2x+t}{y}$ olur buradan ise $$|O_2Q|=\dfrac{m.(2x+t)}{2y}$$ olur.
Benzer şekilde $$|O_1R|=\dfrac{m.(2y+z)}{2x}$$ olur. $QRO_1O_2$ dörtgenin dik yamuk olduğuna dikkat edersek ve $|QR|=m$ olduğuna dikkat edersek $$|O_1O_2|^2= m^2+(|O_2Q|-|O_1R|)^2$$ eşitliği yazılabilir. $(|O_2Q|-|O_1R|)^2$ ifadesini sadeleştirelim. $$(|O_2Q|-|O_1R|)^2=\dfrac{m^2}{4}(\dfrac{2x+t}{y}-\dfrac{2y+z}{x})^2=\dfrac{m^2}{4} (\dfrac{2x^2+xt-2y^2-yz}{xy})^2$$ olur. En başta $ \dfrac{z}{x}=\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{t}$ olduğunu söylemiştik. Buradan $xt=y^2$ ve $yz=x^2$ elde edilebilir. Yerine koyarsak $$(|O_2Q|-|O_1R|)^2=\dfrac{m^2}{4}(\dfrac{x^2-y^2}{xy})^2$$ olur. O halde $$|O_1O_2|^2=\dfrac{m^2}{4}(\dfrac{x^4-2x^2y^2+y^4}{x^2y^2}+4)=\dfrac{m^2}{4}. \dfrac{(x^2+y^2)^2}{x^2y^2}=\dfrac{m^6}{4x^2y^2}$$ elde edilir. Diğer taraftan $AYD$ ve $DXB$ üçgenlerinde pisagor teoremleri yardımıyla
$$|AB|^2= (\sqrt{x^2+z^2} + \sqrt{y^2+t^2})^2=x^2+y^2+z^2+t^2+2.\sqrt{x^2y^2+x^2t^2+z^2y^2+z^2t^2}$$
olur. $x^2=yz$, $y^2=xt$ ve $xy=zt$ eşitliklerini kullanarak
$$\sqrt{x^2y^2+x^2t^2+z^2y^2+z^2t^2}=\sqrt{x^2y^2+y^4+x^4+x^2y^2}=x^2+y^2$$ elde edilir. Buradan
$$|AB|^2=3.(x^2+y^2)+z^2+t^2$$ olur. $$|AB|^2= 3.(x^2+y^2)+\dfrac{x^4}{y^2}+\dfrac{y^4}{x^2}=3(x^2+y^2)+\dfrac{(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)}{x^2y^2}=\dfrac{(x^2+y^2)(x^4+2x^2y^2+y^4)}{x^2y^2}=\dfrac{m^6}{x^2y^2}$$ olur. Buradan ise $$\dfrac{|AB|^2}{|O_1O_2|^2}=4 $$ elde edilir ve ispat biter.
