Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1985 Soru 1

[geo]

Merkezi, $ABCD$ kirişler dörtgeninin $AB$ kenarı üzerinde bulunan çembere, dörtgenin diğer kenarları teğettir. $AD+BC=AB$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

Çember $BC$ ye $P$ de, $AD$ ye $Q$ da dokunsun. Çemberin merkezi $M$ olsun.
$\angle BAD = 2\alpha$ dersek, $\angle DCB = 180^\circ - 2\alpha \Rightarrow \angle MCP = 90^\circ - \alpha$ olur.
$[QD$ üzerinde $PC=QS$ olacak şekilde $S$ noktası alalım. Ayrıca $QM=MP$ ve $\angle SQM=\angle CPM = 90^\circ$ olduğu için $\triangle CPM \cong \triangle SQM$, yani, $\angle QSM = \angle PCM = 90^\circ - \alpha$ olur. Bu durumda, $\triangle ASM$ de $$\angle SMA = 180^\circ - 2\alpha - (90^\circ - \alpha) = 90^\circ - \alpha = \angle ASM$$ olduğu için $AM=AS=AQ+CP$ elde edilir.
Benzer şekilde, $BM=BP+QD$ olacağı için, taraf tarafta topladığımızda $AB=AM+MB=AQ+CP+BP+QD=AD+BC$ olacaktır.