Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 18

[Eray]

$n$ bir pozitif tam sayı, $p$ bir asal sayı, $d_1$ ve $d_2$ ise $n$ sayısının birbirinden farklı iki pozitif tam böleni olmak üzere $n=p(d_1+d_2)$ biçiminde yazılabiliyorsa $n$ sayısına dengeli sayı diyelim. $100$ den küçük kaç dengeli sayı vardır?

$\textbf{a)}\ 11 \qquad\textbf{b)}\ 17 \qquad\textbf{c)}\ 24 \qquad\textbf{d)}\ 30 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[yusufipek]

06=2.(1+2)
12=2.(2+4)
18=2.(3+6)
24=2.(4+8)
30=2.(5+10)
36=2.(6+12)
42=2.(7+14)
48=2.(8+16)
54=2.(9+18)
60=2.(10+20)
66=2.(11+22)
72=2.(12+24)
78=2.(13+26)
84=2.(14+28)
90=2.(15+30)
96=2.(16+32) ve de 56=7.(1+7) olup 17 tanedir...

[Lokman Gökçe]

Yanıt $\boxed{B}$

$n=p(d_1+ d_2)$, $d_1|n$, $d_2|n$ ve $d_1 \neq d_2$ ise $d_1 > d_2 $ kabul edebiliriz. $n=d_1 x = d_2 y$ olacak şekilde $1 \leq x < y $ tamsayıları vardır. $d_1 =\frac{n}{x}$ ve $ d_2 =\frac{n}{y}$ değerlerini $n=p(d_1+ d_2)$ denkleminde yazalım. $n=p \left(\frac{n}{x} + \frac{n}{y} \right)$ olup buradan $xy – px – py =0 $ elde edilir. Her iki tarafa $p^2$ ekleyelim. $xy – px – py +p^2=p^2 $ ifadesi $(x-p)(y-p)=p^2$ biçiminde çarpanlara ayrılır. $x<y$ olduğundan yalnızca

$$x-p=1 \\ y-p=p^2 $$

durumu incelenir. $x=p+1$, $y=p(p+1)$ dir. O halde $n=d_2y=d_2p(p+1)$ dir. $p(p+1) \leq n <100$ olduğundan $p \in \{ 2,3,5,7 \}$ dir.

$p=7$ için $n=56d_2$ dir. $d_2 \in \{ 1\}$ olup $n \in \{ 56 \}$ dır.
$p=5$ için $n=30d_2$ dir. $d_2 \in \{ 1,2,3\}$ olup $n \in \{ 30,60,90 \}$ dır.
$p=3$ için $n=12d_2$ dir. $d_2 \in \{ 1,2, \dots , 8 \}$ olup $n \in \{ 12,24, \dots , 96  \}$ dır.
$p=2$ için $n=6d_2$ dir. $d_2 \in \{ 1,2, \dots , 16 \}$ olup $n \in \{ 6, 12, \dots , 96  \}$ dır.

$p=3$ ve $p=5$ durumlarından elde edilen $n$ değerleri $p=2$ içinde zaten vardır. $p=2$ ve $p=7$ durumlarından toplam $16 + 1 = 17$ farklı $n$ değeri elde edilir.