Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 07

[ArtOfMathSolving]

Bir $f: \mathbf R \setminus \left \{ -\dfrac{2}{7},\dfrac{1}{7} \right \} \to \mathbf R$ fonksiyonu, tanım kümesinde bulunan her $x$ için, $$ f(x)+ f \left (\dfrac{x-1}{7x+2} \right )=x $$ eşitliğini sağlıyorsa $f(1)$ aşağıdakilerden hangisi olabilir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{1}{7}
\qquad{b)}\ \dfrac{1}{4}
\qquad{c)}\ \dfrac{2}{7}
\qquad{d)}\ \dfrac{1}{2}
\qquad{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Alimmm78]

$x=1$ için $f(1) + f(0) = 1 $
$x=0$ için $f(0) + f(-1/2) = 0 $
$x=-1/2$ için $f(-1/2) + f(1) = -1/2 $

İkinci denlemi  birinci denklemden çıkarırsak ve üçüncü denklem ile toplarsak

$f(1) - f(-1/2) = 1 $
$f(-1/2) + f(1) = -1/2 $
$2f(1)=1/2$
$f(1) = 1/4 $.