$\text{ArtOfMathSolving}$
$\text{Jordan Bölgeleri}$ ile çalışacağız, verilen ifade yerine daha genel bir ifade ispatlayacağım.
$E$ bir Jordan bölgesi olmak üzere, $b_1,b_2,\dots,b_n$ tamsayıları $E$ bölgesinin alt ağı olsun, öyleki bu ağ kapalı bir $n$ boyutlu $n$ genin içinde olsun. $E$ sıfır-hacimli olmamak üzere,
ipsatlayacağımız ifade, herhangi bir $A_i=\{a_i|i=1,2,\dots,n\}$ kapalı yolu ile oluşturulan $A\times A\times \dots \times A$ n boyutlu şekle -ki biz buna basitçe "çokgen" diyeceğiz- herhangi bir ağın $b_1,b_2,\dots b_n$ herhangi bir $(i,j)$ inci kenarı (bu kenarı $i<j$ olması halinde $j-i$ şeklinde tanımlayacağız.) bu çokgenin $(i,j)$ inci kenarını ancak ve ancak bu ağların üstünde bulunduğu bölgenin Jordan bölgesi olduğununda böldüğünü göstereceğiz.
$A_i=\{a_i|i=1,2,\dots,n\}$ çokgenini tanımlamıştık şimdi de $E_i=\{b_i|i=1,2,\dots,n\}$ şeklinde gösterelim. Birkaç özellik yazalım. $$V(E;A_i)=\sum_{E\cap A_i\not=\emptyset}|A_i|$$ ve $$v(E;A)=\sum_{E\subseteq A} |A_i|$$
Ağın dış ve iç hacmini sırasıyla $$Vol^{-} = \sup (v(E;A_i))$$ ve $$Vol^{+} = \inf (V(E;A_i))$$ olarak tanımlayalım.
Şimdi bu küme üzerinde bir $\delta$ işlemi/işlemcisi tanımlayalım öyleki bu işlemci $A_i$ çokgeninin herhangi bir $i$ ve $j$ noktalarını $E$ alt ağındaki keyfi $\varepsilon$, $\mu$ noktalarına götürsün. Matematiksel olarak $\delta_{i,j} \rightarrow \varepsilon,\mu$. İşlemcinin götürdüğü noktalar kümesi $E$ nin altağı olacak ve bir alt ve üst değerlere sahip olacak. Bu kümeyi $$\delta_{i,j,\dots \in \Theta} \longrightarrow \Theta_i=\{b_i|i=1,2\dots,n\}$$ şeklinde tanımlayalım. Ayrıca bu işlemci bir Jordan bölgesini başka bir Jordan bölgesine götürsün.
$\text{Teorem:}$ $0\le v(\Theta;E_i)\le V(\Theta;E_i)$ eşitsizliği gerçeklenir.
$\mathcal{P}roof:$ $\Theta$ ağından daha ince olan $E$ üzerinde bir $I$ ağı olsun. Böyle bir ağ, örneğin, her $j=1,2\dots ,n$ için ($\mathcal{P}$ burada bir parçalanışı gösteriyor.) $\mathcal{P_j}(I)=\mathcal{P_j}(\Theta)$ alınarak elde edilebilir. Böylece $0 \le v(I;E_i) \le v(\Theta,E_i) \le V(\Theta;E_i) \le v(I;E_i)$ gerçeklenir. $\square$
Şimdi Bir iddia ortaya atalım.
$\text{Iddia 1:}$ $$\prod_{i\le n}V(\Theta;A_i)-v(\Theta;A_i)\ge 0$$
Dikkat edin, burada $\Theta$ ağı $A_i$ nin doğrudan alt ağı değil, $E$ altağı üzerinde bir ağ. Bunu kanıtlamak için başka bir iddia yı kanıtlamamız gerekiyor.
$\text{Iddia 2:}$ $$\delta_{i\rightarrow n} v(\Theta;E) \not= \inf \sum_{\Theta \cap E_i\not=\emptyset} b_i$$
$\mathcal{P}roof:$ Her iki tarafta limit alalım. $$\lim_{i\rightarrow n} \delta_{i\rightarrow n} v(\Theta;E) = \lim_{i\rightarrow n} \inf\sum_{\Theta \cap E_i\not=\emptyset} b_i$$
$$\Rightarrow \delta_{i\rightarrow n}\left( \lim_{i\rightarrow n}\sum_{\Theta \subseteq E_i}|\Theta_i|-\lim_{i\rightarrow n} \inf \sum_{\Theta \subseteq E_i}\right)=0$$ Her iki tarafın iç toplamını alalım. $$Vol^{+}\left( \delta_{i\rightarrow n}(\lim_{i\rightarrow n}\sum_{\Theta \subseteq E_i}|\Theta_i|-\inf\sum_{\Theta\subseteq E_i}b_i)\right)=Vol^{+}\kappa$$ burada $\kappa$ sıfır hacimli bir Jordan bölgesidir. İşlemcimizin tanım gereği $\delta_{i\rightarrow n}(\lim_{i\rightarrow n}\sum_{\Theta \subseteq E_i}|\Theta_i|-\inf\sum_{\Theta\subseteq E_i}b_i)$ ifadesinin tersi, $\delta_{\kappa \rightarrow i}=\lim_{i\rightarrow n}\sum_{\Theta \subseteq E_i}|\Theta_i|-\inf\sum_{\Theta\subseteq E_i}b_i)$ olmalıdır. Fakat bu mümkün değildir çünkü $\kappa$ ağı sıfır hacimli Jordan bölgesi fakat $E$ kümesini tanımlarken sıfır hacimli olmayan bir küme olarak tanımlamıştık. Çelişki! O halde $$\delta_{i\rightarrow n} v(\Theta;E_i)=\sup \sum_{\Theta \subseteq E_i} b_i \Rightarrow \delta_{i\rightarrow n} V(\Theta;E_i)=\inf \sum_{\Theta \subseteq E_i} b_i$$ koşulları gerçeklenir. $\square$
İspatımızı tamamlamak için son kez ortaya bir iddia daha atalım.
$\text{Iddia 2:}$ $$\delta_{i<j\le n}(j-i) \longrightarrow \sum_{\Theta \cap E_i}(b_j-b_i) \longrightarrow \sum_{\Theta \cap A_i}(a_j-b_i)$$
$\mathcal{P}roof:$ $\delta_{i\rightarrow n}(j-i) \rightarrow V(\Theta;E_i)-V(\Theta;E_j)$ olduğunu gösterelim. $$\delta_{i\rightarrow n}V(\Theta;E_i)=\inf \sum_{\Theta \subseteq E_i}b_i$$
$$\delta_{j\rightarrow n}v(\Theta;E_j)=\sup\sum_{\Theta \cap E_j}b_j$$
$$\Rightarrow \delta_{i,j\le n} \left( \inf\sum_{\Theta \cap E_j}b_j-\sup\sum_{\Theta\subseteq E_i}b_i \right)\ge \left( \sum_{\Theta \cap A_i}a_j-b_j\right)$$ kabul edebiliriz yani $j-i$ kenarı $a_j-a_i$ nin bir alt ağı olarak kabul edilir. Çünkü infimum ve supremum işlemleri Jordan bölgesinde eşit kabul edilir. İspat biter $\square$
Hatam olduysa lütfen bildirin, iyi çalışmalar...
