Tübitak Lise Takım Seçme 2005 Soru 2

[Lokman Gökçe]

$m(\widehat{A})>m(\widehat{B})$ koşulunu sağlayan bir $ABC$ üçgeninde $ \lbrack AB\rbrack $ kenarının orta noktası $N$ dir. $[AC$ ışını üstünde $C$ den sonra gelecek ve $\vert BC\vert =|CD|$ olacak biçimde bir $D$ noktası; $[DN$ ışını üstünde de, $m(\widehat{PBC})=m(\widehat{A})$ olacak biçimde bir $P$ noktası alınıyor. $PC$ ile $AB$ nin kesiştiği nokta $E;$ $BC$ ile $DP$ nin kesiştiği nokta $T$ ise, $$\dfrac{\vert BC\vert }{\vert TC\vert }-\dfrac{\vert EA\vert }{\vert EB\vert }$$ ifadesinin değerini bulunuz.

[geo]

Önce $\dfrac{AE}{BE}$ oranını hesaplayacağız.
$DA\cap BP=\left\{F\right\}$ olsun. $A.A$ dan $\triangle ABC\sim \triangle BFC$ olur.
$$AC\cdot FC=BC^2=DC^2$$

$\triangle ABF$ de $P,E,C$ noktaları için Menelaus'tan
$$\dfrac{AE}{BE}\cdot \dfrac{BF}{FP}\cdot \dfrac{FC}{AC}=1$$
$\triangle ABF$ de $P,N,D$ noktaları için Menelaus'tan
$$\dfrac{AN}{BN}\cdot \dfrac{BF}{FP}\cdot \dfrac{FD}{AD}=1$$
Eşitliklerini taraf tarafa oranlarsak:
$$\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{AC}{FC}\cdot \dfrac{FD}{AD}$$
elde ederiz.
$$FC\cdot AD=FC\left(AC+CD\right)=AC\cdot FC+FC\cdot CD=CD^2+FC\cdot CD=CD\cdot FD$$
eşitliğini yerine yazarsak
$$\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{AC}{FC}\cdot \dfrac{FD}{AD}=\dfrac{AC}{CD}$$
olur.
Şimdi de $\dfrac{BT}{TC}$ yi hesaplayalım.

$\triangle ABC$ de $N,T,D$ noktaları için Menelaus'tan
$$\dfrac{AN}{BN}\cdot \dfrac{BT}{CT}\cdot \dfrac{CD}{AD}=1$$
olacaktır.
$$\dfrac{BC}{TC}=\dfrac{BT}{TC}+1=\dfrac{AD}{CD}+1=\dfrac{AC+CD}{CD}+1=\dfrac{AC}{DC}+2$$
Son olarak
$$\dfrac{BT}{TC}-\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{AC}{DC}+2-\dfrac{AC}{DC}=2$$
elde edilir.

Not:
Dikkat edilirse, $\triangle ABF$ de $BD$ bir dış açıortaydır. Son durumda ise $CP$ doğrusu, $\angle BCA$ nın açıortayı oluyor.