18. UAMO (2013) Birinci Aşama Sınavı Soruları

[ERhan ERdoğan]

2013 Akdeniz Matematik Olimpiyatı 1. aşama sorularının tamamı çözümleriyle beraber ektedir. Ayrıca 5. problemin yarışma sorusu ve başka bir yerde bulamayacağınız yarışma aday sorusu halindeki orijinal versiyonu da belgede eklenmiştir. İyi çalışmalar ...

[geo]

11.

[AB üzerinde E noktasını m(BEC)=36 olacak şekilde alalım.
AC=AC=EB=a olsun.
BC hipotenüs olmak üzere BCF ikizkenar dik üçgenini E ile F BC nin farklı taraflarında yer alacak şekilde kuralım.
BF=FC=1 ve EBFC bir deltoittir.
m(EBF) = 45+72 = 117
m(ACD) = 153- 36 = 117
, EB=AC=a ve CD=BF=1
olduğu için EBF~ACD dir.
EBFC deltoidinde m(BEF)=18 olduğu için m(DAC)=18 ve m(BAD)=36+18=54 tür.

Cevap: B

[ERhan ERdoğan]

25.

[ERhan ERdoğan]

17.

''m basamaklı bir sayı ile n basamaklı bir sayının çarpımı en fazla m+n basamaklı olur.''

a sayısı t basamaklı olsun. O halde f(a) = t dir.

f(a²)=t+t=2t , f(a³)=2t+t=3t ...... , f(a²⁰)=19t+t=20t

t+2t+3t+......+20t = 2730 

210t = 2730

t=13

[ERhan ERdoğan]

18.

y = 7x+4z-7  denklemini verilen ikinci ifade de kullanalım.

x³+2x²-7x+z²-4z+1078 . İfadeyi uygun şekilde şöyle parçalayabiliriz.

x³+2x²-7x+4+z²-4z+4+1070

(x-1)².(x+4) + (z-2)² +1070

x=1 , z=2 için en küçük değer 1070 dir.

[geo]

1.

[x²] = 2x - 1 bir tam sayı olduğu için 2x bir tam sayı olmak zorunda.
a bir tam sayı olmak üzere; x=2a/2=a veya x = (2a+1)/2 formunda olmalı.
x=a için,
a² - 2a + 1 = 0 => a=1 => x=1.

x=(2a+1)/2 için,
x² = (4a² + 4a + 1)/4 = a² + a + 1/4
[x²] - 2x + 1 = a² + a - (2a+1) + 1 = 0
=> a²-a = 0 => a=0 ya da a =1
Bu durumda, x=1/2 ya da x=3/2 elde edilir.
Bulduğumu değerlerden üçünün de denklemi sağladığını kontrol ettikten sonra cevap 1+1/2+3/2 = 3  olarak bulunur.

Cevap: D

[geo]

3.

720 = 6 (mod n)
714 = 0 (mod n)
2.3.7.17 = 0 (mod n)
714'ün pozitif bölenleri 2.2.2.2 = 16 tanedir.
Bunlardan 1,2,3,6 sayıları için kalan 6'dan küçük olmak zorunda olduğu için cevap 16-4 = 12.

Cevap: E

[ERhan ERdoğan]

19.

toplamları 2013 eden, en büyük ve en küçük elemanlar arasındaki, eleman sayısının oluşturduğu alt küme sayısını hesaplayacağız

{1006,1007} için 2⁰

{1005,1006,1007,1008} için 2²

{1004,1005,1006,1007,1008,1009} için 2⁴

........

{1,2,........,2012,2013}  için 2²⁰¹⁰

toplamda 2⁰+2²+2⁴+........+2²⁰¹⁰ tane alt küme yazılır.

2²=4(mod7) , 2⁴=2(mod7) , 2⁶=1(mod7) ve

2²+2⁴+2⁶=0(mod7) olduğundan, ilk terimden sonraki 1005 terimin toplamı mod7 de sıfır olur.

O halde sonuç 1 dir.

[geo]

8.

Kosinüs Teoreminden
c² + 9 - 2.c.3.cos(60) = 16 => c² - 3c = 7

(a³+b³+c³)/(a+b+c) = (c³ + 91)/(c+7)

c³ = 3c² + 7c = 3(3c + 7) + 7c = 16c +21

(16c+ 112)/(c+7) = 16

Cevap: B

[geo]

9.

[BC] üzerinde AC=CD=b olacak şekilde bir D noktası alalım.
BD=a-b olacaktır.

m(C)=2x dersek, m(DAC)=90-2x ve m(BAD)=2x olacaktır.
m(BAD) = m(BCA) olduğu için
BA² = BD.BC
c² = (a-b)a
=> c² = a² - ab
=> b = (a²-c²)/a olur.


Cevap: A

[geo]

21.

Çözüme geçmeden önce bir şeyler söyleyeyim.
Böyle bir soru gördüğüm zaman,
29x2 = 58, 26x2 =52 olduğu için AC, BAD açısının açıortayı diyorum.

Bir iç açıortay ile iki dış açıortay dış merkezde kesişir. Dış merkezden kenara bakan açı, üçgende bu kenara bakan açının yarısıdır. Sorudaki veriler, bu konfigürasyonu doğrular vaziyette. Şıkkımızı işaretler geçeriz.


Biraz daha estetik bir çözüm yapalım:
ADB açısının açıortayı AE yi I da kessin.
m(IDB) = 26 = m(ACB) olduğu için BIDC dörtgeni bir kirişler dörtgenidir.
m(ICD)=m(IBD)=29 olacağından ve m(ABD)=58 olduğu için
m(ABI)=m(IBD)=29 olur.
Bu durumda I, iç açıortayların kesişim noktası, yani, m(BAE)=35 tir.
Bu durumda, m(AED)= 58 +35 = 93 olarak elde edilir.

Cevap: A

[bunyamin]

13.

[ERhan ERdoğan]

7.

[FEYZULLAH UÇAR]

7.çözüm 2.yol
x⁴+3x³+11x²+3x+1=x⁴+2x²+1+3x³+9x²+3x
=(x²+1)²+3x(x²+1)+9x²  ifadesine AGO uygularsak
(x²+1)²+3x(x²+1)+9x²>=9x(x²+1)  bulunur.Buradan cevap 1/9 bulunur.

[FEYZULLAH UÇAR]

5.soru.
x₁=a,x₂=b,x₃=c negatif ise -x₁,-x₂,-x₃  pozitif olur.
-3a-9b-4c=18 olur.a.b.c=-2 ise -abc=2 olur.
 -3a,-9b ve -4c ye AGO uygularsak 
-3a-9b-4c=>(-3a.9b.4c)^1/3 ise 6>=6 olduğundan -3a=-9b=-4c=k olur . kökler çarpımından k=6 bulunur.gerekli işlemler yapılırsa cevap 79/36 bulunur.