Gönderen Konu: 1997 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 1  (Okunma sayısı 1409 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.562
  • Karma: +4/-0
1997 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 1
« : Mart 22, 2023, 03:44:13 öö »
$m \in \mathbb R$ olmak üzere,
$$x^2+(m-4)x+(m^2-3m+3)=0$$
denkleminin iki reel kökü $x_1$ ve $x_2$ dir. $x_1^2+x_2^2=6$ olduğuna göre, $m$ nin alabileceği değerleri bulunuz.

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.322
  • Karma: +9/-0
Ynt: 1997 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 1
« Yanıtla #1 : Mart 22, 2023, 08:36:28 ös »
Öncelikle $x_1$ ve $x_2$ bu denklemin çözümü olduğundan $$x_1^2=(4-m)x_1-(m^2-3m+3)$$ $$x_2^2=(4-m)x_2-(m^2-3m+3)$$ $$\implies x_1^2+x_2^2=(4-m)(x_1+x_2)-2(m^2-3m+3)$$ olur. Vieta teoreminden $x_1+x_2=4-m$'dir. Yerine yazarsak, $$6=(4-m)^2-2(m^2-3m+3)=-m^2-2m+10\implies m^2+2m-4=0\implies m=-1\pm\sqrt{5}$$ elde edilir. Köklerin reel olması gerektiğini de göz önünde bulundurursak, $$\Delta=(m-4)^2-4(m^2-3m+3)\geq 0\implies (3m-2)(m-2)\leq 0\implies m\in\left[\frac{2}{3},2\right]$$ olmalıdır. Dolayısıyla $m=-1-\sqrt{5}$ istediğimiz bir çözüm değildir. Sadece $m=\sqrt{5}-1$ aradığımız özellikleri sağlar.
« Son Düzenleme: Mart 25, 2023, 11:00:49 öö Gönderen: Metin Can Aydemir »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal