Tübitak Lise 1.Aşama 2017 Soru 22

[Dogukan6336]

$f(0) = \dfrac {2} {3}$ ve $n = 1,2,3,...$ için $f(n)\neq 0$ ve $(f(n+1)-1)(f(n)+3) + 3 = 0$ olduğuna göre,
 

$ \dfrac {1} {f(0)} +  \dfrac {1} {f(1)} + \dfrac {1} {f(2)} + \dfrac {1} {f(3)} +...+ \dfrac {1} {f(2016)} + \dfrac {1} {f(2017)} $

toplamının değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir ?

$\textbf{a)}\ 3^{2018} - 1010   \qquad\textbf{b)}\ 3^{2017} - 1009  \qquad \textbf{c)}\ 2.3^{2018} - 1009  \qquad \textbf{d)}\ 2(3^{2017} - 505) \qquad\textbf{e)}\ 2.3^{2017} - 1009$

[Dogukan6336]

Cevap : $\boxed A$

verilen ifadeyi düzenlersek $f(n+1) = \dfrac {f(n)} {f(n)+3}$ olarak bulunur. $f(1) = 2/11$ , $f(2) = 2/35$ , $f(3) = 2/107$ , şeklinde devam edecektir. O halde

$a_{0} = 3$ , $a_{1} = 11$ , $a_{2} = 35$ ,... şeklinde bir dizi oluşturursak

$a_{n+1} = 3a_{n} + 2$

şeklinde bir homojen olmayan yineleme bağıntısına sahip olduğuna  görebiliriz. Diziye ve bağıntıya bakarak zorlanmadan $a_{n} = 4.3^{n} - 1$ olduğunu görebiliriz

$\dfrac {1} {f(0)} +  \dfrac {1} {f(1)} + \dfrac {1} {f(2)} + \dfrac {1} {f(3)} +...+ \dfrac {1} {f(2016)} + \dfrac {1} {f(2017)} = 3/2 + 11/2 + 35/2 + 107/2 + ... = \dfrac {\sum _{n=0}^{2017}(4.3^{n}- 1)} {2} $


olacaktır.


 O halde $\sum _{n=0}^{2017}(4.3^{n}- 1) =4(\dfrac {3^{2018} - 1 }  {2} ) - 2018$ olup sorudaki aradığımız toplam  $3^{2018} - 1010$ olur.